最小の非可算順序数

最小の非可算順序数（英: First uncountable ordinal）ω₁の存在は、選択公理によらずに示すことができる（ハルトークス数を参照）。ω₁は極限順序数で、すべての可算な順序数を含む非可算集合である。ときに Ω とも表記される。その濃度は最小の非可算基数 ℵ₁ に等しい。

位相的性質

任意の順序数は、順序位相の入った位相空間と捉えることができる。位相空間 [0,ω₁) および [0,ω₁] は、いくつかの興味深い性質を持っている。

[0,ω₁) は点列コンパクトであるがコンパクトではない。任意の距離空間においてその二つは同値であるから、[0,ω₁) は距離化不可能である。
可算コンパクトではあるため、 [0,ω₁) はコンパクトでない可算コンパクト空間の例になっている。
[0,ω₁) は第一可算公理を満たすが可分でも第二可算的でもない。
ω₁ は[0,ω₁) の極限点であるが、 [0,ω₁) 内の可算な点列で ω₁ に収束するものは存在しない。なぜなら、可算集合の可算和はまた可算集合になるからである。よって [0, ω₁] においてω₁ は可算な基本近傍系を持てず、[0, ω₁] は第一可算公理を満たさない。
ω₁ から実数 $\mathbb {R}$ への任意の連続関数 f は、ある順序数から先が定数関数になる。即ち、ある $\beta \in \omega _{1}$ と実数 $c\in \mathbb {R}$ が存在して、 $\beta <\alpha$ ならば $f(\alpha )=c$ となる^[1]。

他にも ω₁ は、長い直線やTychonoff plankといった、位相空間論における重要な反例を作り出すために用いられている。

連続体仮説

詳細は「連続体仮説」を参照

連続体仮説とは『連続濃度はω₁の濃度と等しい』という命題で、19世紀にカントルによって提唱された。現在では、ZFCにおいて証明も反証もできない命題であることが知られている。この仮説との関連で、ω₁ のべき集合 ${\mathcal {P}}(\omega _{1})$ の構造も研究されている^[2]。

出典

^ Bellenot, Steven. “"The set ω1, the first uncountable ordinal"”. 2015年8月27日閲覧。
^ TODORCEVIC, STEVO. “"THE POWER-SET OF ω1 AND THE CONTINUUM PROBLEM"”. arxiv.org. 2015年8月27日閲覧。

参考文献

Thomas Jech, Set Theory, 3rd millennium ed., 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2.
Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
志賀浩二『無限からの光芒―ポーランド学派の数学者たち』1988、日本評論社 ISBN 978-4535781610

集合論

基本

演算

関係

性質	反射関係推移関係推移閉包対称関係非対称関係反対称関係完全関係同値関係同値類 well-defined 整礎関係逆関係関係の合成
写像	定義域終域値域単射全射全単射逆写像像と逆像恒等写像制限包含写像合成射影商写像指示関数配置集合族添字集合順序対順序組列集合族グラフ部分写像対応
順序	前順序有向半順序全順序整列稠密有界単調写像順序同型辞書式順序順序型推移的集合順序数 0 後続極限自然数ハッセ図超限帰納法ツォルンの補題整列可能定理整礎的集合フォン・ノイマン宇宙