正五十二角形 五十二角形(ごじゅうにかくけい、ごじゅうにかっけい、pentacontadigon)は、多角形の一つで、52本の辺と52個の頂点を持つ図形である。内角の和は9000°、対角線の本数は1274本である。
正五十二角形
正五十二角形においては、中心角と外角は6.923076…°で、内角は173.076923…°となる。一辺の長さが a の正五十二角形の面積 S は
![{\displaystyle S=13a^{2}\cot {\frac {\pi }{52}}a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c84a2c85691c7c795a38e091e840352d85893d9)
- 関係式
![{\displaystyle {\begin{aligned}&x_{1}=2\cos {\frac {2\pi }{52}}+2\cos {\frac {18\pi }{52}}+2\cos {\frac {46\pi }{52}}={\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}\\&x_{2}=2\cos {\frac {10\pi }{52}}+2\cos {\frac {14\pi }{52}}+2\cos {\frac {22\pi }{52}}={\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\\&x_{3}=2\cos {\frac {50\pi }{52}}+2\cos {\frac {34\pi }{52}}+2\cos {\frac {6\pi }{52}}=-{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}\\&x_{4}=2\cos {\frac {42\pi }{52}}+2\cos {\frac {38\pi }{52}}+2\cos {\frac {30\pi }{52}}=-{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fea7010b8ac05b0b47033fb4bc0bd9ea635dbc7)
三次方程式の係数を求めると
![{\displaystyle {\begin{aligned}&2\cos {\frac {2\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{52}}+2\cos {\frac {18\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{52}}+2\cos {\frac {46\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {2\pi }{52}}\\&=2\cos {\frac {10\pi }{26}}+2\cos {\frac {14\pi }{26}}+2\cos {\frac {22\pi }{26}}+2\cos {\frac {4\pi }{13}}+2\cos {\frac {10\pi }{13}}+2\cos {\frac {12\pi }{13}}=-{\sqrt {13}}\\&2\cos {\frac {2\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {18\pi }{52}}\cdot 2\cos {\frac {46\pi }{52}}=x_{4}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/510514aaab1ee367684434670bba875984badd81)
解と係数の関係より
![{\displaystyle u^{3}-x_{1}u^{2}-{\sqrt {13}}u-x_{4}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67c450dc7b340614772114a4d2bbda582d1701e)
変数変換
![{\displaystyle u=v+x_{1}/3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807c21dac6c3ab29e077cbb6815417a6aeb98f35)
整理すると
![{\displaystyle v^{3}-{\frac {13+3{\sqrt {13}}}{6}}v-{\frac {(13+6{\sqrt {13}})x_{1}+27x_{4}}{27}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56fa61558ecf4603f62ac24700ff8b57c2605ba2)
三角関数、逆三角関数を用いた解は
![{\displaystyle u_{1}={\frac {x_{1}}{3}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {(13+6{\sqrt {13}})x_{1}+27x_{4}}{(13+3{\sqrt {13}}){\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea13268e1d2e55dcf6cd581fe88c69e93bbbde99)
![{\displaystyle u_{1}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}+{\frac {2}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}\cos \left({\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c670d0e29eab116df94599f47d2e073a7bf78ad)
平方根、立方根で表すと
![{\displaystyle u_{1}={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63d70d73804279a0e6fcddcc97605712b9eac418)
を平方根と立方根で表すと
![{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{52}}={\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {13-3{\sqrt {13}}}{2}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}+i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {\frac {13+3{\sqrt {13}}}{2}}}{\sqrt[{3}]{{\frac {-5{\sqrt {13}}}{26}}-i{\frac {3{\sqrt {39}}}{26}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cdb74f4ed94830b140eb7a1c9c20274ff36c8c7e)
正五十二角形の作図
正五十二角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。
正五十二角形は折紙により作図可能である。
脚注
[脚注の使い方]
関連項目
外部リンク
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非古典的 (2辺以下) | |
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辺の数: 3–10 | 六角形 | - 正六角形
- 円に内接する六角形
- 円に外接する六角形
- ルモワーヌの六角形(英語版)
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辺の数: 11–20 | |
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辺の数: 21–30 | |
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辺の数: 31–40 | |
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辺の数: 41–50 | |
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辺の数: 51–70 (selected) | |
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辺の数: 71–100 (selected) | |
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辺の数: 101– (selected) | |
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無限 | |
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星型多角形 (辺の数: 5–12) | |
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多角形のクラス | |
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