Teorema di Pick

Il teorema di Pick è un teorema di geometria che permette di calcolare l'area di un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere.

In un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere, siano:

• ${\displaystyle i}$ il numero di punti a coordinate intere interni al poligono;
• ${\displaystyle p}$ il numero di punti a coordinate intere sul perimetro del poligono (vertici compresi).

L'area ${\displaystyle A}$ del poligono può essere calcolata tramite la formula:

${\displaystyle A=i+{\frac {p}{2}}-1.}$

Osserviamo innanzitutto che ogni poligono è decomponibile in triangoli. La dimostrazione del teorema di Pick equivale dunque a dimostrare le seguenti tesi:

• la formula di Pick è additiva;
• il teorema di Pick vale per un triangolo generico.

Consideriamo un poligono ${\displaystyle P}$ risultante dall'unione di due poligoni ${\displaystyle A}$ e ${\displaystyle B}$, i cui lati condividono ${\displaystyle c}$ punti di contatto a coordinate intere. Vogliamo dimostrare che ${\displaystyle F(P)=F(A)+F(B)}$, dove ${\displaystyle F}$ è la formula di Pick. Per il poligono ${\displaystyle P}$ si ha

${\displaystyle {\begin{aligned}F(P)&=i_{P}+{\frac {p_{P}}{2}}-1\\&=(i_{A}+i_{B}+c-2)+{\frac {(p_{A}-c)+(p_{B}-c)+2}{2}}-1\\&=\left({\frac {p_{A}}{2}}+i_{A}-1\right)+\left({\frac {p_{B}}{2}}+i_{B}-1\right)\\&=F(A)+F(B)\end{aligned}}}$

Il primo punto è stato dimostrato. Per dimostrare il secondo punto, si procede per gradi, prima dimostrando il teorema per rettangoli, poi per triangoli rettangoli particolari, e infine considerando i triangoli più generici come somme o differenze di tali figure elementari. Questo è lecito proprio perché l'additività è stata dimostrata.

Applicando il teorema ad un rettangolo con i lati ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ rispettivamente paralleli ai due assi, si ha:

${\displaystyle A=i+{\tfrac {p}{2}}-1=ab-a-b+1+a+b-1=ab}$

che è corretto. Per un triangolo rettangolo di cateti ${\displaystyle a}$ e ${\displaystyle b}$ e la cui ipotenusa non ha punti a coordinate intere (eccetto gli estremi), si ha:

${\displaystyle {\begin{aligned}F(P)&=i_{P}+{\frac {p_{P}}{2}}-1\\&={\frac {(a-1)(b-1)}{2}}+{\frac {a+b+1}{2}}-1\\&={\frac {ab}{2}}\end{aligned}}}$

che è corretto. I triangoli rettangoli con punti sull'ipotenusa possono essere suddivisi decomposti in rettangoli e triangoli rettangoli senza punti sull'ipotenusa, dunque il teorema vale per tutti i triangoli rettangoli. Per i triangoli non rettangoli, infine, basta notare che sono ottenibili tramite somme e differenze di figure per cui è già stato dimostrato che la formula vale.

Il secondo punto è stato dimostrato, dunque la tesi iniziale è valida.

• H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry, 2nd ed., Wiley, 1989.

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su teorema di Pick

• Il teorema di Pick - Appunti di matematica ricreativa di Gianfranco Bo
• Una semplice dimostrazione del Teorema di Pick di Domenico Lenzi

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