Principio di sovrapposizione

In matematica e in fisica, il principio di sovrapposizione stabilisce che per un sistema dinamico lineare l'effetto di una somma di perturbazioni in ingresso è uguale alla somma degli effetti prodotti da ogni singola perturbazione.

In altri termini, la risposta del sistema lineare ${\displaystyle H}$ ad una combinazione lineare ${\displaystyle \alpha _{1}\mathbf {x_{1}} +\alpha _{2}\mathbf {x_{2}} +\dots +\alpha _{n}\mathbf {x_{n}} }$ di un certo numero di sollecitazioni linearmente indipendenti ${\displaystyle \mathbf {x_{i}} }$, con ${\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {R} }$, può ottenersi sommando le singole risposte ${\displaystyle H(\mathbf {x_{i}} )}$ che ciascuna di esse produrrebbe se agisse da sola (quando cioè le altre sono nulle):

${\displaystyle H(\alpha _{1}\mathbf {x_{1}} +\alpha _{2}\mathbf {x_{2}} +\dots +\alpha _{n}\mathbf {x_{n}} )=\alpha _{1}H(\mathbf {x_{1}} )+\alpha _{2}H(\mathbf {x_{2}} )+\dots +\alpha _{n}H(\mathbf {x_{n}} )}$

Il principio di sovrapposizione esprime la possibilità di scomporre un problema lineare. Se si è in grado di scrivere i dati di ingresso in più componenti linearmente indipendenti (ad esempio, in un moto a due dimensioni si possono considerare la componente verticale e la componente orizzontale) allora è possibile risolvere il problema analizzando separatamente ciascuna delle componenti: si calcola ogni singola risposta e poi si sommano le singole risposte secondo la stessa proporzione (ovvero con gli stessi coefficienti ${\displaystyle \alpha _{i}}$) in cui erano sommati i dati in ingresso.

Sistemi stazionari (LTI)

Dato un sistema lineare stazionario:

${\displaystyle {\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)}$

${\displaystyle y(t)=Cx(t)+Du(t)}$

con ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ e ${\displaystyle D}$ matrici non dipendenti dal tempo, sia ${\displaystyle y_{i}(t)}$ la risposta del sistema all'ingresso ${\displaystyle u_{i}(t)}$ quando il sistema è nello stato iniziale ${\displaystyle x_{i}(t=0)}$.

Dato lo stato iniziale ${\displaystyle x(0)=\alpha _{1}x_{1}(0)+\alpha _{2}x_{2}(0)}$, con ${\displaystyle \alpha _{i}\in \mathbb {R} }$, il principio di sovrapposizione implica che ad un ingresso ${\displaystyle u=\alpha _{1}u_{1}(t)+\alpha _{2}u_{2}(t)}$ corrisponde l'uscita:

${\displaystyle y(t)=\alpha _{1}y_{1}(t)+\alpha _{2}y_{2}(t)}$

Grazie a questo fatto l'uscita può essere espressa come la somma:

${\displaystyle y(t)=y_{L}(t)+y_{F}(t)}$

della risposta libera ${\displaystyle y_{L}}$ e della risposta forzata ${\displaystyle y_{F}}$. Utilizzando la trasformata di Laplace ${\displaystyle L(s)}$ si può anche scrivere, nello specifico:

${\displaystyle L[y(t)](s)=Y(s)=Y_{L}(s)+Y_{F}(s)=F(s)x(0)+G(s)U(s)}$

dove ${\displaystyle U}$ è la trasformata di ${\displaystyle u}$ e le matrici ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle G}$ sono date da:

${\displaystyle F(s)=C(sI-A)^{-1}\qquad G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D}$

Il termine ${\displaystyle Y_{L}}$ è lineare rispetto a ${\displaystyle x(0)}$ e rappresenta la risposta del sistema quando l'ingresso è nullo: lo stato del sistema dipende quindi linearmente dallo stato iniziale ${\displaystyle x(0)}$. Il termine ${\displaystyle Y_{F}}$ è la risposta del sistema quando lo stato iniziale è nullo, ed è pertanto una funzione lineare solo dell'ingresso ${\displaystyle u}$.

Si ha infatti:

${\displaystyle Y(s)=G(s)U(s)+F(s)x(0)=G(s)[\alpha _{1}U_{1}(s)+\alpha _{2}U_{2}(s)]+F(s)[\alpha _{1}x_{1}(0)+\alpha _{2}x_{2}(0)]=}$

${\displaystyle =\alpha _{1}[G(s)U_{1}(s)+F(s)x_{1}(0)]+\alpha _{2}[G(s)U_{2}(s)+F(s)x_{2}(0)]=\alpha _{1}Y_{1}(t)+\alpha _{2}Y_{2}(t)}$

Applicazioni

Il principio si applica ogni qualvolta sia coinvolta una trasformazione lineare, come possono essere i sistemi di equazioni lineari e le equazioni differenziali lineari, sia ordinarie che alle derivate parziali. In presenza di un sistema:

${\displaystyle Ax=b}$

dove ${\displaystyle A}$ è una matrice e ${\displaystyle b}$ un vettore, il principio afferma che se ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle y_{0}}$ sono soluzioni dei sistemi con termini noti ${\displaystyle b}$ e ${\displaystyle b_{0}}$, allora ${\displaystyle y+y_{0}}$ risolve il sistema:

${\displaystyle Ax=b+b_{0}}$

Fisica

I fenomeni naturali che rispettano il principio di sovrapposizione sono diversi; ad esempio le equazioni di Maxwell stabiliscono un legame lineare tra carica e campi magnetici, e quindi si può applicare il principio quando si deve descrivere l'interazione di più cariche.

Ingegneria

In teoria dei segnali, la sovrapposizione lineare è alla base dell'analisi di Fourier per la scomposizione e lo studio dei segnali elettrici.

Nell'ingegneria meccanica e ingegneria civile, l'uso della sovrapposizione degli effetti è utile nell'identificare la distribuzione dei carichi lungo una struttura, per evitare cedimenti.

Esempio

Nella risoluzione dell'equazione del calore ${\displaystyle u_{tt}-\Delta u=0}$ il metodo di separazione delle variabili fa uso del concetto di autovalore e autofunzione di un operatore differenziale ellittico e della sua decomposizione spettrale. Imponendo che la soluzione sia della forma ${\displaystyle u(t,x)=f(t)g(x)}$ (con ${\displaystyle f(t)}$ e ${\displaystyle g(x)}$ tra loro indipendenti) si giunge alla risoluzione del sistema:

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\Delta g=-\lambda _{k}g\\f'=\lambda _{k}f\end{matrix}}\right.}$

che ha come soluzioni ${\displaystyle g_{k}(x)}$ e ${\displaystyle f_{k}(t)=f_{k}(0)e^{-\lambda _{k}t}}$, dove ${\displaystyle g_{k}}$ è un'autofunzione del laplaciano. Siccome è noto che, sotto certe ipotesi sui dati, l'insieme delle autofunzioni costituisce una base dello spazio funzionale ambiente, si ricostruisce infine la soluzione dell'equazione di partenza come:

${\displaystyle u(t,x)=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(t,x)=\sum _{k=1}^{\infty }g_{k}(x)f_{k}(t)}$

Bibliografia

• (EN) N. K. Verma, Physics for Engineers, PHI Learning Pvt. Ltd., Oct 18, 2013, 592 pp. [1]
• (EN) Tim Freegard, Introduction to the Physics of Waves, Cambridge University Press, Nov 8, 2012. [2]
• (EN) Joseph Edward Shigley, Charles R. Mischke, Richard Gordon Budynas, Mechanical Engineering Design (2004) McGraw-Hill Professional, p. 192 ISBN 0-07-252036-1
• (EN) Bathe, K. J., Finite Element Procedures , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996, p. 785 ISBN 0-13-301458-4

Voci correlate

• Combinazione lineare
• Equazione differenziale lineare
• Indipendenza lineare
• Principio di sovrapposizione (meccanica quantistica)
• Sistema di equazioni lineari
• Sistema dinamico lineare
• Sistema dinamico lineare stazionario
• Trasformazione lineare

Altri progetti

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Collegamenti esterni

• (EN) principle of superposition, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi - Fondamenti di Automatica (PDF), su dsi.unifi.it. URL consultato il 30 agosto 2015 (archiviato dall'url originale il 23 settembre 2015).

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