Operatore parità

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Definizione

L'operatore parità in meccanica quantistica è l'operatore che effettua una trasformazione di inversione spaziale delle coordinate ovvero cambia il segno di ognuna di esse. La sua azione su di un ket arbitrario definito nella base delle x è la seguente:

${\displaystyle P\left|\psi \right\rangle =P\int _{-\infty }^{\infty }\left|x\right\rangle \left\langle x\right|\left|\psi \right\rangle dx=\int _{-\infty }^{\infty }\left|-x\right\rangle \left\langle x\right|\left|\psi \right\rangle dx=-\int _{\infty }^{-\infty }\left|x'\right\rangle \left\langle -x'\right|\left|\psi \right\rangle dx'=\int _{-\infty }^{\infty }\left|x'\right\rangle \left\langle -x'\right|\left|\psi \right\rangle dx'}$

dove ${\displaystyle x'=-x}$, quindi :

${\displaystyle \left\langle x\right|P\left|\psi \right\rangle =\psi (-x)}$

Dato un generico stato fisico S descritto dalla sua funzione d'onda quindi:

${\displaystyle P^{\dagger }{\vec {x}}P=-{\vec {x}}}$

${\displaystyle P\psi _{s}({\vec {x}})=\psi _{s}(-{\vec {x}})}$

Proprietà

Lineare

P è un operatore lineare in quanto:

${\displaystyle P(\psi _{1}({\vec {x}})+\psi _{2}({\vec {x}}))=P\psi _{1}({\vec {x}})+P\psi _{2}({\vec {x}})}$

Hermitiano (autoaggiunto)

P è un operatore autoaggiunto in quanto:

${\displaystyle P^{\dagger }=P}$

Il che garantisce che abbia autovalori reali. Ciò si evince facilmente in tal modo:

${\displaystyle P^{2}\left|x\right\rangle =\left|-(-x)\right\rangle =\left|x\right\rangle }$, da cui ${\displaystyle P^{2}=I}$.

Unitario

P è un operatore unitario in quanto:

${\displaystyle P^{\dagger }P=PP^{\dagger }=1}$

Gli operatori unitari corrispondono a trasformazioni che non modificano il prodotto scalare. La combinazione delle ultime due proprietà corrisponde all'evidenza che invertendo lo spazio due volte abbiamo una trasformazione identica.

Commutatori

L'operatore di parità commuta con gli scalari e con gli pseudovettori, e anticommuta con i vettori e gli pseudoscalari. Ad esempio l'azione dell'inversione spaziale lascia invariati l'energia e il momento angolare, mentre cambia il segno dell'impulso e dell'elicità.

${\displaystyle [P,{\vec {L}}]=0}$

${\displaystyle \{P,{\vec {p}}\}=0}$

Autostati e autovalori

Poiché P è sia unitario che hermitiano i suoi autovalore devono essere di norma unitaria e reali, quindi uno e meno uno.

In definitiva le autofunzioni dell'operatore parità sono le funzioni pari e quelle dispari:

${\displaystyle \psi _{p}(-{\vec {x}}')=+\psi _{p}({\vec {x}}')}$

${\displaystyle \psi _{d}(-{\vec {x}}')=-\psi _{d}({\vec {x}}')}$

Applicazioni

Poiché l'hamiltoniana di un sistema simmetrico per inversione commuta con la Parità è garantita l'esistenza di una base simultanea di autostati dei due operatori. Questo significa che siamo legittimati a cercare le autofunzioni dell'Hamiltoniana tra le funzioni pari e quelle dispari. Un esempio di questo procedimento è la trattazione della buca di potenziale finita.

Voci correlate

• Osservabile
• Parità (fisica)

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