Operatore di evoluzione temporale

L'operatore di evoluzione temporale in meccanica quantistica è un operatore che agisce su uno stato del sistema e opera l'evoluzione di questo stato negli istanti successivi. Dobbiamo chiarire che in meccanica quantistica (non relativistica) non esiste un operatore tempo, cioè il tempo non è una osservabile ma un parametro.

Consideriamo una particella quantistica o un sistema fisico descritto all'istante ${\displaystyle t_{0}}$ da un vettore di stato ${\displaystyle |{\vec {\alpha }},t_{0}\rangle }$ e consideriamo il vettore di stato al tempo ${\displaystyle t}$ identificato con ${\displaystyle |\alpha ,t\rangle }$. L'evoluzione è operata dall'operatore di evoluzione temporale:

(1)${\displaystyle |\alpha ,t\rangle =U(t,t_{0})|\alpha ,t_{0}\rangle }$

perché ${\displaystyle |\alpha ,t\rangle }$ deve potersi determinare da ${\displaystyle |\alpha ,t_{0}\rangle }$.

Vediamo le proprietà di questo operatore. Per la conservazione della probabilità, lo stato al tempo ${\displaystyle |\alpha ,t\rangle }$ deve essere normalizzato a ${\displaystyle 1}$, quindi:

${\displaystyle \langle \alpha ,t|\alpha ,t\rangle =\langle \alpha ,t_{0}|U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})|\alpha ,t_{0}\rangle =\langle \alpha ,t_{0}|\alpha ,t_{0}\rangle =1}$

e questo implica che

(2)${\displaystyle U^{\dagger }(t,t_{0})U(t,t_{0})=\mathbf {1} }$

cioè l'operatore di evoluzione temporale deve essere unitario. Inoltre per ${\displaystyle t\to t_{0}}$ il nostro operatore deve eseguire una trasformazione identitaria, cioè deve ridursi all'operatore identità, cioè:

${\displaystyle \lim _{t\to t_{0}}U(t,t_{0})=\mathbf {1} }$

Infine l'applicazione successiva dell'operatore due volte, cioè eseguire due evoluzioni temporali consecutive, deve portare ad una evoluzione somma:

${\displaystyle U(t_{2},t_{1})U(t_{1},t_{0})=U(t_{2},t_{0})\ }$

Queste proprietà portano alla definizione dell'operatore di evoluzione temporale infinitesimale:

(3)${\displaystyle U(t_{0}+dt,t_{0})=\mathbf {1} -i\Omega \cdot dt}$

dove ${\displaystyle \mathbf {1} }$ è l'operatore identità e ${\displaystyle \Omega }$ è il generatore dell'evoluzione temporale e deve essere un operatore hermitiano, infatti:

${\displaystyle U^{\dagger }U=\left(\mathbf {1} +i\Omega ^{\dagger }\cdot dt\right)\left(\mathbf {1} -i\Omega \cdot dt\right)=\mathbf {1} +i(\Omega ^{\dagger }-\Omega )dt+O((dt)^{2})\simeq \mathbf {1} }$

ossia:

${\displaystyle \Omega =\Omega ^{\dagger }}$

e questo prova anche che l'operatore ${\displaystyle U(t,t_{0})}$ è un operatore unitario.

Per vedere quale sia il generatore dell'evoluzione temporale infinitesimo possiamo utilizzare l'analogia con la meccanica classica: eseguiamo cioè una trasformazione canonica temporale infinitesima delle coordinate generalizzate e degli impulsi:

${\displaystyle Q_{i}=q_{i}+{\dot {q}}_{i}dt\,,\,\,\,\,\,P_{i}=p_{i}+{\dot {p}}_{i}dt}$

La funzione che genera tale trasformazione canonica è:

(4)${\displaystyle \Phi =\sum _{i}q_{i}\cdot P_{i}+Hdt}$

dove ${\displaystyle \sum _{i}q_{i}\cdot P_{i}}$ genera una trasformazione identica. Dal confronto della (3) con la (4) possiamo supporre che ${\displaystyle \Omega }$ coincida a meno di un fattore costante con l'hamiltoniana del sistema. Il fattore costante in questione è la costante di Planck razionalizzata poiché essa permette all'operatore temporale di essere adimensionale, quindi in definitiva la (3) dice che l'operatore di evoluzione temporale infinitesima è:

(5)${\displaystyle U(t_{0}+dt,t_{0})=\mathbf {1} -{\frac {iHdt}{\hbar }}}$

Se ci si limita a considerare forze indipendenti dal tempo, l'operatore ${\displaystyle U}$ dipende unicamente dall'intervallo ${\displaystyle t-t_{0}}$ e non dall'istante iniziale ${\displaystyle t_{0}}$, che si può porre uguale a ${\displaystyle 0}$. In questo caso, vedremo che l'operatore di evoluzione temporale si può scrivere in forma compatta come:

(6)${\displaystyle U(t)\equiv U(t,0)=e^{-iHt/\hbar }.}$

Questo risultato si può dimostrare rigorosamente in virtù del teorema di Stone.

L'operatore di evoluzione temporale infinitesimo è alla base dell'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo, infatti se:

${\displaystyle U(t+dt,t_{0})-U(t,t_{0})=U(t+dt,t)U(t,t_{0})-U(t,t_{0})=\left(\mathbf {1} -{\frac {iHdt}{\hbar }}\right)U(t,t_{0})-U(t,t_{0})=-{\frac {i}{\hbar }}HdtU(t,t_{0})}$

dividendo per ${\displaystyle dt}$ e nel limite ${\displaystyle dt\to 0}$:

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}U(t,t_{0})=HU(t,t_{0})}$

Applicato ad un generico vettore di stato ${\displaystyle |\alpha ,t_{0}\rangle }$:

${\displaystyle i\hbar \left({\frac {\partial }{\partial t}}U(t,t_{0})\right)|\alpha ,t_{0}\rangle =HU(t,t_{0})|\alpha ,t_{0}\rangle \,\,\rightarrow \,\,i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\alpha ,t\rangle =H|\alpha ,t\rangle }$

dove H può dipendere esplicitamente dal tempo.

L'hamiltoniano di un sistema isolato o di un sistema che si trova in un campo esterno uniforme non contiene esplicitamente il tempo. È lecito quindi porre ${\displaystyle t_{0}=0}$ e scrivere ${\displaystyle U(t)=U(t,0)}$ senza perdere in generalità. Dall'equazione di Schrödinger si ricava

${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$

e per i vettori di stato:

${\displaystyle |\alpha ,t\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\alpha ,0\rangle }$.

Si definiscono stati stazionari quelli che non evolvono nel tempo, vale a dire ${\displaystyle |\alpha ,t\rangle }$ e ${\displaystyle |\alpha ,0\rangle }$ rappresentano lo stesso stato. Questo è vero se sono proporzionali, cioè

${\displaystyle |\alpha ,t\rangle =c(t)|\alpha ,0\rangle }$.

Si dimostra che

uno stato è stazionario se e solo se è autostato di ${\displaystyle H}$.

Ad esempio, se ${\displaystyle H|\alpha ,0\rangle =E|\alpha ,0\rangle }$ si ha che:

${\displaystyle U(t)|\alpha ,0\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\alpha ,0\rangle =e^{-iEt/\hbar }|\alpha ,0\rangle }$.

Si vede così che la costante di proporzionalità ${\displaystyle c(t)}$ è ${\displaystyle e^{-iEt/\hbar }}$.

Se lo stato di partenza non è un autostato di ${\displaystyle H}$, ma questa ha un insieme completo di autovettori ${\displaystyle |n\rangle }$, è possibile effettuare uno sviluppo in serie:

${\displaystyle |\alpha ,0\rangle =\sum _{n}|n\rangle \langle n|\alpha ,0\rangle =\sum _{n}c_{n}(0)|n\rangle }$

al tempo ${\displaystyle t}$ l'evoluzione del vettore di stato è:

${\displaystyle |\alpha ,t\rangle =U(t,0)|\alpha ,0\rangle =\sum _{n}c_{n}(0)e^{-iHt/\hbar }|n\rangle =\sum _{n}c_{n}(0)e^{-iE_{n}t/\hbar }|n\rangle }$

cioè il coefficiente generico dello sviluppo varia nel tempo come:

${\displaystyle c_{n}(0)\,\,\,\Rightarrow \,\,\,c_{n}(t)=e^{-iE_{n}t/\hbar }c_{n}(0)}$

I moduli quadri ${\displaystyle |c_{n}(t)|^{2}}$ dei coefficienti dello sviluppo del vettore di stato al tempo ${\displaystyle t}$, sono come sempre le probabilità di transizione dei diversi valori di energia del sistema, e la precedente mostra che tali probabilità restano costanti nel tempo.

Se ${\displaystyle H}$ ha autovalori continui lo sviluppo in serie non è possibile e si avrà:

${\displaystyle |\alpha ,t\rangle =\int c(E)e^{-iEt/\hbar }|E\rangle dE}$.

Nel caso in cui ${\displaystyle H}$ abbia solo autovalori continui (ad esempio nel caso di particella libera), non esistono autostati propri e quindi nemmeno stati stazionari.

A partire dall'operatore U è possibile determinare come varia nel tempo il valor medio di qualunque osservabile ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \alpha ,t|A|\alpha ,t\rangle }$

ed è chiaro che il valor medio di ${\displaystyle A}$ è costante nel tempo su ogni stato stazionario. In particolare, per la posizione ${\displaystyle \langle x\rangle =cost.}$ e per l'impulso si ha:

${\displaystyle \langle p\rangle =m{\frac {d}{dx}}\langle x\rangle =0}$.

Possono esistere osservabili il cui valor medio si mantiene costante su qualsiasi stato: queste si dicono costanti del moto. Si dimostra che

tutte e sole le costanti del moto sono le osservabili che commutano con ${\displaystyle H}$, ovvero ${\displaystyle [A,H]=0}$.

Analogo risultato vale in meccanica classica: le costanti del moto sono le funzioni che annullano la parentesi di Poisson con ${\displaystyle H}$.

Per determinare il valor medio di ${\displaystyle A}$ abbiamo scritto ${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \alpha ,t|A|\alpha ,t\rangle }$ e introducendo l'operatore ${\displaystyle U}$ si ha:

${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \alpha ,0|U(t)^{\dagger }AU(t)|\alpha ,0\rangle }$

e posto ${\displaystyle A(t)\equiv U(t)^{\dagger }AU(t)}$, si ha:

${\displaystyle \langle A\rangle _{t}=\langle \alpha ,0|A(t)|\alpha ,0\rangle }$.

Questa scrittura significa che si stanno tenendo fissi i vettori che descrivono lo stato del sistema, mentre sono le osservabili a dipendere dal tempo. Questo schema è formalmente identico alla meccanica classica: se ${\displaystyle U(t)=e^{-iHt/\hbar }}$, si trova l'equazione di Heisenberg

${\displaystyle {\dot {A}}(t)={\frac {i}{\hbar }}[H,A(t)]}$

che corrisponde alle equazioni del moto classiche in forma di parentesi di Poisson.

Per una hamiltoniana nella forma ${\displaystyle H={\frac {p^{2}}{2m}}+V(q)}$ si trovano due equazioni per ${\displaystyle q}$ e ${\displaystyle p}$ formalmente uguali alle equazioni di Hamilton:

${\displaystyle {\dot {q}}(t)={\frac {p(t)}{m}}}$

${\displaystyle {\dot {p}}(t)=-{\frac {\partial }{\partial q}}V[q(t)]}$

• Jun J. Sakurai e Jim Napolitano, Meccanica quantistica moderna, Bologna, Zanichelli, 2014, ISBN 978-88-08-26656-9.
• Lev D. Landau e Evgenij M. Lifšic, Meccanica quantistica, teoria non relativistica, Roma, Editori Riuniti, 2004, ISBN 978-88-35-95606-8.
• Luigi E. Picasso, Lezioni di Meccanica quantistica, Pisa, ETS, 2015, ISBN 978-88-46-74310-7.

• Osservabile
• Operatore posizione
• Operatore impulso
• Operatore hamiltoniano
• Operatore di inversione temporale
• Operatore di traslazione spaziale