Lemma di Riemann-Lebesgue

In matematica, in particolare nell'analisi armonica, il lemma di Riemann-Lebesgue, il cui nome è dovuto a Bernhard Riemann e Henri Lebesgue, è un teorema che afferma che la trasformata di Fourier o Laplace di una funzione integrabile si annulla all'infinito. Grazie ad esso è possibile dimostrare che ${\displaystyle \lbrace e^{int}\rbrace _{n\in \mathbb {Z} }}$è una base per lo spazio di Hilbert ${\displaystyle L^{2}([0,2\pi ])}$.

Sia ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ una funzione misurabile. Se ${\displaystyle f}$ è sommabile allora:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-izx}\,dx\rightarrow 0{\text{ per }}z\rightarrow \pm \infty }$

La trasformata di Fourier di ${\displaystyle f}$ tende quindi a ${\displaystyle 0}$ per valori infiniti di ${\displaystyle z}$.

Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido in diverse situazioni, riportate nel seguito.

• Se ${\displaystyle f}$ è in ${\displaystyle L^{1}}$ e definita in ${\displaystyle (0,+\infty )}$, allora il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Laplace ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle \int _{0}^{+\infty }f(t)e^{-tz}\,dt\to 0}$

per ${\displaystyle |z|\to +\infty }$ all'interno del semipiano ${\displaystyle \Im (z)\geq 0}$.

• Se ${\displaystyle f}$ è in ${\displaystyle L^{1}}$ e definita su un intervallo limitato, allora i coefficienti di Fourier di ${\displaystyle f}$ tendono a ${\displaystyle 0}$ per ${\displaystyle n\to \pm \infty }$. Questo fatto si ottiene estendendo ${\displaystyle f}$ alla funzione nulla al di fuori dell'intervallo, ed applicando il lemma sull'intero asse reale.

• Il lemma di Riemann–Lebesgue è valido anche per la trasformata di Fourier in più dimensioni. Se ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$, allora:

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ per }}|\xi |\rightarrow +\infty }$

dove ${\displaystyle {\hat {f}}}$ è la trasformata di Fourier:

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-ix\cdot \xi }f(x)\,dx}$

Si consideri il caso monodimensionale, da cui segue senza difficoltà il caso in dimensione arbitraria, e sia ${\displaystyle f}$ una funzione liscia a supporto compatto. Integrando per parti in ogni variabile:

${\displaystyle \left|\int f(x)e^{-izx}dx\right|=\left|\int {\frac {1}{iz}}f'(x)e^{-izx}dx\right|\leq {\frac {1}{|z|}}\int |f'(x)|dx\rightarrow 0{\mbox{ per}}\ z\rightarrow \pm \infty }$

Se ${\displaystyle f}$ è una funzione integrabile qualsiasi, può essere approssimata in ${\displaystyle L^{1}}$ da una funzione liscia a supporto compatto ${\displaystyle g}$ tale che ${\displaystyle \|f-g\|_{L^{1}}<\varepsilon }$. Si ha allora:

${\displaystyle \limsup _{z\rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(z)|\leq \limsup _{z\to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))e^{-ixz}dx\right|+\limsup _{z\rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)e^{-ixz}dx\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon }$

e dal momento che questo vale per ogni ${\displaystyle \varepsilon >0}$ segue la tesi.

Nel caso in cui ${\displaystyle t\in \mathbb {C} }$, si supponga che ${\displaystyle f}$ sia a supporto compatto su ${\displaystyle (0,+\infty )}$ e che sia differenziabile con continuità. Dette ${\displaystyle F}$ e ${\displaystyle G}$ le trasformate (di Fourier o Laplace) rispettivamente di ${\displaystyle f}$ e ${\displaystyle f'}$, per le proprietà della trasformata si ha ${\displaystyle F(t)=G(t)/t}$, da cui ${\displaystyle F(z)\rightarrow 0}$ per ${\displaystyle |t|\rightarrow +\infty }$. Poiché la funzione in tale forma è densa in ${\displaystyle L^{1}(0,+\infty )}$, ciò vale per ogni scelta di ${\displaystyle f}$.

• (EN) Salomon Bochner e Komaravolu Chandrasekharan, Fourier Transforms, Princeton University Press, 1950, ISBN 978-06-91-09578-3.
• (EN) Gradshteyn, I. S. e Ryzhik, I. M., Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed., San Diego, Academic Press, 2000, ISBN 978-01-22-94757-5. p. 1101, 2000.

• Funzione a supporto compatto
• Funzione liscia
• Funzione misurabile
• Trasformata di Fourier
• Trasformata di Laplace

• Weisstein, Eric W. Riemann-Lebesgue Lemma. From MathWorld

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