Curva sestica

In matematica una curva sestica è una curva algebrica piana di sesto grado. Può essere definita da un polinomio della forma:

A 1 X 6 + A 2 Y 6 + A 3 X 5 Y + A 4 X Y 5 + A 5 X 4 Y 2 + A 6 X 2 Y 4 + A 7 X 3 Y 3 + A 8 X 5 + A 9 Y 5 + A 10 X 4 Y + A 11 X Y 4 + A 12 X 3 Y 2 + A 13 X 2 Y 3 + A 14 X 4 + A 15 Y 4 + A 16 X 3 Y + A 17 X Y 3 + A 18 X 2 Y 2 + A 19 X 3 + A 20 Y 3 + A 21 X 2 Y + A 22 X Y 2 + A 23 X 2 + A 24 Y 2 + A 25 X Y + A 26 X + A 27 Y + A 28 = 0. {\displaystyle A_{1}X^{6}+A_{2}Y^{6}+A_{3}X^{5}Y+A_{4}XY^{5}+A_{5}X^{4}Y^{2}+A_{6}X^{2}Y^{4}+A_{7}X^{3}Y^{3}+A_{8}X^{5}+A_{9}Y^{5}+A_{10}X^{4}Y+A_{11}XY^{4}+A_{12}X^{3}Y^{2}+A_{13}X^{2}Y^{3}+A_{14}X^{4}+A_{15}Y^{4}+A_{16}X^{3}Y+A_{17}XY^{3}+A_{18}X^{2}Y^{2}+A_{19}X^{3}+A_{20}Y^{3}+A_{21}X^{2}Y+A_{22}XY^{2}+A_{23}X^{2}+A_{24}Y^{2}+A_{25}XY+A_{26}X+A_{27}Y+A_{28}=0.}

L'equazione ha 28 coefficienti, ma la curva non cambia se li moltiplichiamo tutti per una costante non nulla. Quindi i coefficienti essenziali sono 27 e le sestiche sono ∞ 27 {\displaystyle ^{27}} . E una di esse è individuata dal suo passaggio per 27 punti generici.

Una curva sestica ( n = 6 {\displaystyle n=6} ) irriducibile può avere al massimo:

  • 1 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) + 1 = 11 {\displaystyle {\frac {1}{2}}(n-1)(n-2)+1=11} componenti connesse;
  • 1 2 ( n − 1 ) ( n − 2 ) = 10 {\displaystyle {\frac {1}{2}}(n-1)(n-2)=10} punti doppi;
  • n 2 ( n − 2 ) ( n 2 − 9 ) = 324 {\displaystyle {\frac {n}{2}}(n-2)(n^{2}-9)=324} rette bitangenti;
  • 3 n ( n − 2 ) = 72 {\displaystyle 3n(n-2)=72} punti di flesso.

Esempi

  • Curva a girandola
10 ( 4 x 2 + 4 y 2 − 1 ) 3 − 500 x 2 y 2 + 3 = 0 {\displaystyle 10(4x^{2}+4y^{2}-1)^{3}-500x^{2}y^{2}+3=0}
  • Superellisse
( x 3 ) 6 + ( y 2 ) 6 = 1 {\displaystyle \left({\frac {x}{3}}\right)^{6}+\left({\frac {y}{2}}\right)^{6}=1}
  • Curva a farfalla
x 6 + y 6 − x 2 = 0 {\displaystyle x^{6}+y^{6}-x^{2}=0}
  • Curva a bacio
( 1 − x 2 ) 3 − y 2 = 0 {\displaystyle (1-x^{2})^{3}-y^{2}=0}
  • Curva a mongolfiera
x 6 + y 6 − 6 y 5 − y 2 = 0 {\displaystyle x^{6}+y^{6}-6y^{5}-y^{2}=0}
  • Curva a cuore
( x 2 + y 2 − 1 ) 3 − x 2 y 3 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1)^{3}-x^{2}y^{3}=0}
  • Curva a dipolo
( x 2 + y 2 ) 3 − x 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-x^{2}=0}
  • Curva a doppio uovo
( x 2 + y 2 ) 3 − x 4 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-x^{4}=0}
  • Archi di Samotracia
x 2 ( 3 x 2 − y 2 ) 2 − y 2 ( x 2 + y 2 ) = 0 {\displaystyle x^{2}(3x^{2}-y^{2})^{2}-y^{2}(x^{2}+y^{2})=0}
  • Cicloide di Ceva
( x 2 + y 2 ) 3 − ( 3 x 2 − y 2 ) 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-(3x^{2}-y^{2})^{2}=0}
  • Curva a lacrima
x 6 − x 5 + y 2 = 0 {\displaystyle x^{6}-x^{5}+y^{2}=0}
  • Curva di Cayley
4 ( x 2 + y 2 − x ) 3 − 27 ( x 2 + y 2 ) 2 = 0 {\displaystyle 4(x^{2}+y^{2}-x)^{3}-27(x^{2}+y^{2})^{2}=0}
  • Curva astroide
( x 2 + y 2 − 1 ) 3 + 27 x 2 y 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1)^{3}+27x^{2}y^{2}=0}
  • Curva nodo a farfalla
x 4 ( x 2 + y 2 ) − ( x 2 − y 2 ) 2 = 0 {\displaystyle x^{4}(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})^{2}=0}
  • Curva a manubrio
x 6 − x 4 + y 2 = 0 {\displaystyle x^{6}-x^{4}+y^{2}=0}
  • Curva a Croce di Malta
( x 2 + y 2 ) 3 − x 2 ( x 2 + 20 y 2 ) + 8 y 2 ( y 2 + 2 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-x^{2}(x^{2}+20y^{2})+8y^{2}(y^{2}+2)=0}
  • Curva a quadrifoglio dritto
( x 2 + y 2 ) 3 − ( x 2 − y 2 ) 2 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-(x^{2}-y^{2})^{2})=0}
  • Curva a quadrifoglio obliquo
( x 2 + y 2 ) 3 − 4 x 2 y 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-4x^{2}y^{2}=0}
  • Curva atriftaloide
x 4 ( x 2 + y 2 ) − ( 3 x 2 − 2 ) 2 = 0 {\displaystyle x^{4}(x^{2}+y^{2})-(3x^{2}-2)^{2}=0}
  • Curva di Lissajous
y 2 − ( 1 − x 2 ) ( 1 − 4 x 2 ) 2 = 0 {\displaystyle y^{2}-(1-x^{2})(1-4x^{2})^{2}=0}
  • Curva cornoide
( x 2 + y 2 ) 3 − y 2 ( 5 y 2 + 6 x 2 − 8 ) + 3 x 4 − 4 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}-y^{2}(5y^{2}+6x^{2}-8)+3x^{4}-4=0}
  • Curva foglio di Dürer
( x 2 + y 2 ) ( 2 x 2 + 2 y 2 − 1 ) 2 − x 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})(2x^{2}+2y^{2}-1)^{2}-x^{2}=0}
  • Curva radiale dell'ellisse
( a 2 x 2 + b 2 y 2 ) 3 − a 4 b 4 ( x 2 + y 2 ) 2 = 0 {\displaystyle (a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2})^{3}-a^{4}b^{4}(x^{2}+y^{2})^{2}=0}
  • Curva a scarabeo dritto
( x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 + a x ) 2 − b 2 ( x 2 − y 2 ) 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}+ax)^{2}-b^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}=0}
  • Curva a scarabeo obliquo
( x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 − x − y ) 2 − a x 2 y 2 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-x-y)^{2}-ax^{2}y^{2}=0}
  • Curva a biella-manovella
( x 2 + y 2 ) ( x 2 + a 2 − b 2 ) 2 − 4 a 2 x 4 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+a^{2}-b^{2})^{2}-4a^{2}x^{4}=0}
  • Curva nefroide
( a 2 x 2 + y 2 − 4 ) 3 − 108 y 2 = 0 {\displaystyle (a^{2}x^{2}+y^{2}-4)^{3}-108y^{2}=0}
  • Curva a mulino a vento
4 x 2 y 2 ( x 2 + y 2 ) − a 2 ( x 2 − y 2 ) 2 = 0 {\displaystyle 4x^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2})-a^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}=0}
  • Curva di Watt
( x 2 + y 2 ) ( x 2 + y 2 − c 2 ) 2 + 4 a 2 y 2 ( x 2 + y 2 − b 2 ) = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2})(x^{2}+y^{2}-c^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}(x^{2}+y^{2}-b^{2})=0}
  • Curva nefroide di Freeth
a 4 ( y 2 − 3 x 2 ) + 8 a 3 x ( x 2 + y 2 ) − 6 a 2 ( x 2 + y 2 ) 2 + ( x 2 + y 2 ) 3 = 0 {\displaystyle a^{4}(y^{2}-3x^{2})+8a^{3}x(x^{2}+y^{2})-6a^{2}(x^{2}+y^{2})^{2}+(x^{2}+y^{2})^{3}=0}
  • Curva a vaso
x 2 ( 2 x 4 − 7 x 2 + 7 ) + 3 y ( 2 y 5 − 2 y 3 − 3 y − 1 ) − x y ( x y 2 + 2 x 3 + 7 x y + 7 x ) − 3 = 0 : {\displaystyle x^{2}(2x^{4}-7x^{2}+7)+3y(2y^{5}-2y^{3}-3y-1)-xy(xy^{2}+2x^{3}+7xy+7x)-3=0:}
  • Curva a telefono
x 2 ( 2 x 4 − 9 x 2 + 5 ) + 9 y 2 ( y 4 + 3 y 3 + 2 y 2 + 4 y − 4 ) + 2 x 2 y ( 4 x 2 y − 5 y 3 − 6 y 2 + 4 y − 9 ) = 0 {\displaystyle x^{2}(2x^{4}-9x^{2}+5)+9y^{2}(y^{4}+3y^{3}+2y^{2}+4y-4)+2x^{2}y(4x^{2}y-5y^{3}-6y^{2}+4y-9)=0}
  • Curva a tomahawk
x 4 ( 29 x 2 − 45 x − 20 ) + y 4 ( 14 y 2 + 45 y − 45 ) + x y ( 35 x 4 + 12 y 4 − 20 x 3 + 30 y 3 ) + 5 x 2 y 2 ( 6 y 2 − 5 x 2 − 8 x y − 2 x − 3 y ) = 0 {\displaystyle x^{4}(29x^{2}-45x-20)+y^{4}(14y^{2}+45y-45)+xy(35x^{4}+12y^{4}-20x^{3}+30y^{3})+5x^{2}y^{2}(6y^{2}-5x^{2}-8xy-2x-3y)=0}
  • Curva di Talbot
a 6 x 6 + b 6 y 6 + 3 a 4 b 2 x 4 y 2 + 3 a 2 b 4 x 2 y 4 + ( 8 a 4 b 4 − 8 a 6 b 2 − a 8 ) x 4 + ( 8 a 4 b 4 − 8 a 2 b 6 − b 8 ) y 4 + ( 38 a 4 b 4 − 20 a 6 b 2 − 20 a 2 b 6 ) x 2 y 2 + ( 8 a 6 b 4 − 32 a 4 b 6 + 16 a 2 b 8 + 8 a 8 b 2 ) x 2 + ( 8 a 2 b 8 + 8 a 4 b 6 + 16 a 8 b 2 − 32 a 6 b 4 ) y 2 + 32 a 6 b 6 − 16 a 8 b 4 − 16 a 4 b 8 = 0 {\displaystyle a^{6}x^{6}+b^{6}y^{6}+3a^{4}b^{2}x^{4}y^{2}+3a^{2}b^{4}x^{2}y^{4}+(8a^{4}b^{4}-8a^{6}b^{2}-a^{8})x^{4}+(8a^{4}b^{4}-8a^{2}b^{6}-b^{8})y^{4}+(38a^{4}b^{4}-20a^{6}b^{2}-20a^{2}b^{6})x^{2}y^{2}+(8a^{6}b^{4}-32a^{4}b^{6}+16a^{2}b^{8}+8a^{8}b^{2})x^{2}+(8a^{2}b^{8}+8a^{4}b^{6}+16a^{8}b^{2}-32a^{6}b^{4})y^{2}+32a^{6}b^{6}-16a^{8}b^{4}-16a^{4}b^{8}=0}
  • Curva a tre barre
[ sin ⁡ A ( x sin ⁡ C − y cos ⁡ C − d sin ⁡ C ) ( x 2 + y 2 + b 2 − e 2 ) + y sin ⁡ B ( x 2 + y 2 − 2 d x + d 2 + a 2 − f 2 ) ] 2 + [ sin ⁡ A ( x cos ⁡ C + y sin ⁡ C − d cos ⁡ C ) ( x 2 + y 2 + b 2 − e 2 ) − x sin ⁡ B ( x 2 + y 2 − 2 d x + d 2 + a 2 − f 2 ) ] 2 − 4 a 2 sin 2 ⁡ B [ sin ⁡ C ( x 2 − d x − y ) − d y cos ⁡ C ] 2 = 0 {\displaystyle [\sin {A}(x\sin {C}-y\cos {C}-d\sin {C})(x^{2}+y^{2}+b^{2}-e^{2})+y\sin {B}(x^{2}+y^{2}-2dx+d^{2}+a^{2}-f^{2})]^{2}+[\sin {A}(x\cos {C}+y\sin {C}-d\cos {C})(x^{2}+y^{2}+b^{2}-e^{2})-x\sin {B}(x^{2}+y^{2}-2dx+d^{2}+a^{2}-f^{2})]^{2}-4a^{2}\sin ^{2}{B}[\sin {C}(x^{2}-dx-y)-dy\cos {C}]^{2}=0}

ove A , B , C {\displaystyle A,B,C} sono gli angoli opposti ai lati a , b , c {\displaystyle a,b,c} di un triangolo

  • Curva con 20 flessi
( 5 x 2 + 5 y 2 − 6 ) ( 3 x 2 − y 2 − 1 ) ( 9 x 2 − 7 y 2 + 1 ) − 1 = 0 {\displaystyle (5x^{2}+5y^{2}-6)(3x^{2}-y^{2}-1)(9x^{2}-7y^{2}+1)-1=0}
  • Curva decaconnessa
2 ( 5 x 2 + 3 y 2 − 6 ) ( 2 y 2 − 4 y 2 + 5 ) ( 10 x 2 − 3 y 2 − 7 ) + 1 = 0 {\displaystyle 2(5x^{2}+3y^{2}-6)(2y^{2}-4y^{2}+5)(10x^{2}-3y^{2}-7)+1=0}
  • Curva a 144 bitangenti
( x 2 + y 2 − 1 ) ( 20 x 2 + y 2 − 2 ) ( x 2 + 20 y 2 − 2 ) + 1 = 0 {\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1)(20x^{2}+y^{2}-2)(x^{2}+20y^{2}-2)+1=0}
  • Curva ennanodata
x 6 + 5 , 8619 y 6 + 4 , 0033 x 5 y − 10 , 743 x y 5 − 7 , 549 x 4 y 2 + 6 , 8793 x 2 y 4 − 2 , 7873 x 3 y 3 − 14 , 01 x 5 − 14 , 07 y 5 + 26 , 891 x 4 y + 19 , 518 x y 4 + 26 , 291 x 3 y 2 − 47 , 496 x 2 y 3 − 43 , 733 x 4 − 69 , 449 y 4 − 55 , 528 x 3 y + 54 , 722 x y 3 + 162 , 51 x 2 y 2 + 69 , 253 x 3 + 303 , 43 y 3 − 217 , 82 x 2 y − 135 , 8 x y 2 + 140 , 02 x 2 − 419 , 88 y 2 + 124 , 15 x y − 110 , 32 x + 204 , 46 y + 0 , 2014 = 0 {\displaystyle x^{6}+5,8619y^{6}+4,0033x^{5}y-10,743xy^{5}-7,549x^{4}y^{2}+6,8793x^{2}y^{4}-2,7873x^{3}y^{3}-14,01x^{5}-14,07y^{5}+26,891x^{4}y+19,518xy^{4}+26,291x^{3}y^{2}-47,496x^{2}y^{3}-43,733x^{4}-69,449y^{4}-55,528x^{3}y+54,722xy^{3}+162,51x^{2}y^{2}+69,253x^{3}+303,43y^{3}-217,82x^{2}y-135,8xy^{2}+140,02x^{2}-419,88y^{2}+124,15xy-110,32x+204,46y+0,2014=0}
  • Curva a girandola
    Curva a girandola
  • Superellisse
    Superellisse
  • Curva a farfalla
    Curva a farfalla
  • Curva a bacio
    Curva a bacio
  • Curva a mongolfiera
    Curva a mongolfiera
  • Curva a cuore
    Curva a cuore
  • Curva a dipolo
    Curva a dipolo
  • Curva a doppio uovo
    Curva a doppio uovo
  • Archi di Samotracia
    Archi di Samotracia
  • Cicloide di Ceva
    Cicloide di Ceva
  • Curva a lacrima
    Curva a lacrima
  • Curva di Cayley
    Curva di Cayley
  • Curva astroide
    Curva astroide
  • Curva nodo a farfalla
    Curva nodo a farfalla
  • Curva a manubrio
    Curva a manubrio
  • Curva a Croce di Malta
    Curva a Croce di Malta
  • Curva a quadrifoglio dritto
    Curva a quadrifoglio dritto
  • Curva a quadrifoglio obliquo
    Curva a quadrifoglio obliquo
  • Curva atriftaloide
    Curva atriftaloide
  • Curva di Lissajous
    Curva di Lissajous
  • Curva cornoide
    Curva cornoide
  • Curva foglio di Dürer
    Curva foglio di Dürer
  • Curva radiale dell'ellisse
    Curva radiale dell'ellisse
  • Curva a scarabeo dritto
    Curva a scarabeo dritto
  • Curva a scarabeo obliquo
    Curva a scarabeo obliquo
  • Curva a biella-manovella
    Curva a biella-manovella
  • Curva nefroide
    Curva nefroide
  • Curva a mulino a vento
    Curva a mulino a vento
  • Curva di Watt
    Curva di Watt
  • Curva nefroide di Freeth
    Curva nefroide di Freeth
  • Curva a vaso
    Curva a vaso
  • Curva a telefono
    Curva a telefono
  • Curva a tomahawk
    Curva a tomahawk
  • Curva di Talbot
    Curva di Talbot
  • Curva a tre barre
    Curva a tre barre
  • Curva con 20 flessi
    Curva con 20 flessi
  • Curva decaconnessa
    Curva decaconnessa
  • Curva a 144 bitangenti
    Curva a 144 bitangenti
  • Curva ennanodata
    Curva ennanodata

Voci correlate

  • Curva quartica
  • Curva quintica

Altri progetti

Altri progetti

  • Wikimedia Commons
  • Collabora a Wikimedia Commons Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su Curva sestica

Collegamenti esterni

  • (EN) Breve definizione delle curve sestiche, su mathworld.wolfram.com.
  • Programma per tracciare le curve sestiche, su ascifoni.com. URL consultato il 28 dicembre 2011 (archiviato dall'url originale il 16 luglio 2013).
  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di Matematica