In algebra, il criterio di Eisenstein è un criterio per dimostrare l'irriducibilità di alcuni polinomi a coefficienti interi. Prende il nome dal matematico tedesco Gotthold Eisenstein.
Il criterio
Sia
un polinomio primitivo a coefficienti interi
![{\displaystyle P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a_{1}x+a_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3cef78ba401837c3eb73e14b60573bf9f50fadd)
Il criterio di Eisenstein afferma che:
In altre parole, se valgono le ipotesi non esistono due polinomi a coefficienti interi
e
e di grado almeno uno tali che
![{\displaystyle H(x)\cdot G(x)=P(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3214a4700e55d13cea5141772b3feb20e4889509)
Per il lemma di Gauss, non esistono neppure due polinomi
e
a coefficienti razionali di grado almeno uno il cui prodotto è
, quindi
è irriducibile pure tra i polinomi a coefficienti razionali.
Il criterio può essere generalizzato a qualsiasi dominio a fattorizzazione unica: basta sostituire alla nozione di numero primo quella di elemento primo.
Esempio
Consideriamo ad esempio il polinomio
; a questo si può applicare il criterio a partire dal primo p=5, che divide 10 e 25, ma non 3; inoltre
non divide 10. Da questo si può dedurre che P(x) è irriducibile.
L'ultima condizione è importante: infatti se consideriamo il polinomio
, questo verifica le prime due condizioni, ma non la terza, e non è irriducibile: esiste infatti la fattorizzazione
Dimostrazione
Supponiamo per assurdo che esistano due polinomi G(x) e H(x) che fattorizzano P(x) (dove P(x) verifica le ipotesi del criterio di Eisenstein), di grado rispettivamente g e h; scomponiamo quindi P(x) come
Abbiamo allora
e quindi
e
da cui a meno di inversioni
e
, continuiamo
per cui
per cui
...
dalle espressioni precedenti si deduce
, quindi
, ma questo comporta che
e dunque l'assurdo
.
Dimostrazione alternativa
Un'altra dimostrazione può essere data usando il campo
delle classi di resto modulo il primo
.
Consideriamo il polinomio
, ottenuto dal polinomio
proiettandone i coefficienti in
; poiché per ipotesi
divide tutti i coefficienti escluso il coefficiente direttore,
con
,
. Poiché in
vale la fattorizzazione unica, ogni fattorizzazione di
in
sarà in monomi. Supponiamo ora che
sia riducibile in
, ovvero che esistano
tali che
con
. Si avrebbe che i fattori
e
, proiettati modulo
, sarebbero monomi, ovvero si avrebbe
e
, con
,
.
È facile verificare che
e che
dunque
divide
e
. Ma allora
divide
contraddicendo l'ipotesi
. Quindi
non è fattorizzabile in
, e dunque nemmeno in
per il lemma di Gauss.
Collegamenti esterni
- (EN) Eric W. Weisstein, Eisenstein's Irreducibility Criterion, su MathWorld, Wolfram Research.
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