Persamaan Klein-Gordon

Dalam mekanika kuantum, persamaan Klein-Gordon adalah persamaan mekanika kuantum relativistik, yang berhubungan dengan persamaan Schrodinger. Ini adalah formalitas dari persamaan relasi atau hubungan energi-momentum yang dicentuskan oleh Albert Einstein.

Persamaan matematis

Persamaan Klein-Gordon dapat ditulis dalam beberapa notasi, termasuk notasi vektor empat

dibawah adalah kedua persamaan Klein-Gordon yang sering ditemui.

Persamaan Klein-Gordon menggunakan satuan natural dengan notasi matrix η μ ν = diag ( ± 1 , ∓ 1 , ∓ 1 , ∓ 1 ) {\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(\pm 1,\mp 1,\mp 1,\mp 1)}
Posisi Ruang

x = ( c t , x ) {\displaystyle x=(ct,\mathbf {x} )}

Transformasi Fourier

ω = E / ℏ , k = p / ℏ {\displaystyle \omega =E/\hbar ,\quad \mathbf {k} =\mathbf {p} /\hbar }

Momentum Ruang

p = ( E / c , p ) {\displaystyle p=(E/c,\mathbf {p} )}

Notasi normal ( 1 c 2 ∂ 2 ∂ t 2 − ∇ 2 + m 2 c 2 ℏ 2 ) ψ ( t , x ) = 0 {\displaystyle \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi (t,\mathbf {x} )=0} ψ ( t , x ) = ∫ d ω 2 π ℏ ∫ d 3 k ( 2 π ℏ ) 3 e ∓ i ( ω t − k ⋅ x ) ψ ( ω , k ) {\displaystyle \psi (t,\mathbf {x} )=\int {\frac {\mathrm {d} \omega }{2\pi \hbar }}\int {\frac {\mathrm {d} ^{3}k}{(2\pi \hbar )^{3}}}\,e^{\mp i(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} )}\psi (\omega ,\mathbf {k} )} E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 {\displaystyle E^{2}=\mathbf {p} ^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}
Notasi vektor-empat ( ◻ + μ 2 ) ψ ( x ) = 0 , μ = m c / ℏ {\displaystyle (\Box +\mu ^{2})\psi (x)=0,\quad \mu =mc/\hbar } ψ ( x ) = ∫ d 4 p ( 2 π ℏ ) 4 e − i p ⋅ x / ℏ ψ ( p ) {\displaystyle \psi (x)=\int {\frac {\mathrm {d} ^{4}p}{(2\pi \hbar )^{4}}}e^{-ip\cdot x/\hbar }\psi (p)} p 2 = ± m 2 c 2 {\displaystyle p^{2}=\pm m^{2}c^{2}}

Dengan, ◻ = ± η μ ν ∂ μ ∂ ν {\displaystyle \Box =\pm \eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }} adalah simbol operator d'Alembert dan ∇ 2 {\displaystyle \nabla ^{2}} adalah Operator Laplace . Dengan kecepatan cahaya c {\displaystyle c} and konstanta planck ℏ {\displaystyle \hbar } dan dengan menggunakan kesepakatan satuan dimana c = ℏ = 1 {\displaystyle c=\hbar =1} .

Interaksi gravitasi

Dalam relativitas umum, kami memasukkan efek gravitasi dengan mengganti parsial dengan turunan kovarian, dan persamaan Klein–Gordon menjadi (dalam tanda sebagian besar plus)

0 = − g μ ν ∇ μ ∇ ν ψ + m 2 c 2 ℏ 2 ψ = − g μ ν ∇ μ ( ∂ ν ψ ) + m 2 c 2 ℏ 2 ψ = − g μ ν ∂ μ ∂ ν ψ + g μ ν Γ σ μ ν ∂ σ ψ + m 2 c 2 ℏ 2 ψ , {\displaystyle {\begin{aligned}0&=-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =-g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }(\partial _{\nu }\psi )+{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi \\&=-g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\psi +g^{\mu \nu }\Gamma ^{\sigma }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }\psi +{\dfrac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi ,\end{aligned}}}

Atau bisa ditulis dengan,

− 1 − g ∂ μ ( g μ ν − g ∂ ν ψ ) + m 2 c 2 ℏ 2 ψ = 0 , {\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\mu }\left(g^{\mu \nu }{\sqrt {-g}}\partial _{\nu }\psi \right)+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0,}

Dimana gαβ adalah invers metrik dari tensor metrik, g adalah determinan dari tensor metrik, ∇μ adalah turunan kovarian, dan Γσμν adalah Simbol Christoffel

Tinjauan pustaka

  • Klein-Gordon equation (English Wikipedia)

Catatan

  • Halaman ini belum sempurna, dan masih menggunakan beberapa kata dari halaman wikipedia berbahasa inggris
  • Beberapa koevisien dan konstanta masih belum terbuat halaman independen nya.

Lihat juga

  • Persamaan Dirac
  • Relativitas