Kategori ruang topologi

Dalam matematika, kategori ruang topologi, sering dilambangkan Top, adalah kategori yang objek adalah ruang topologi dan morfisme adalah peta kontinu. kategori komposisi dari dua peta kontinu pada kontinu, dan fungsi identitas kontinu. Studi tentang Top dan sifat ruang topologi menggunakan teknik teori kategori dikenal sebagai topologi kategorikal.

Beberapa penulis menggunakan nama Top untuk kategori dengan manifold topologi atau dengan ruang kompak sebagai objek dan peta kontinu sebagai morfisme.

Sebagai kategori konkrit

Seperti banyak kategori, kategori Top adalah kategori konkret, yang berarti objek himpunan dengan struktur tambahan (yaitu topologi) dan morfismenya adalah fungsi yang menjaga struktur ini

U : Top → Himpunan

ke kategori himpunan yang menetapkan ke setiap ruang topologi himpunan yang mendasari dan ke setiap peta pada fungsi kontinu yang mendasari.

Functor pelupa U memiliki adjoin kiri

D : Himpunan → Top

yang melengkapi himpunan tertentu dengan topologi diskrit, dan adjoin kanan

I : Himpunan → Top

yang melengkapi himpunan tertentu dengan topologi indiskrit. Kedua fungsi ini sebenarnya invers kanan menjadi U (artinya UD dan UI sama dengan identitas funktor pada Himpunan). Selain itu, karena setiap fungsi antara ruang diskrit atau antara ruang tak berlainan adalah kontinu, kedua fungsi ini memberikan embedding penuh dari Himpunan ke Top.

Top adalah model dari apa yang disebut kategori topologi. Kategori ini dicirikan oleh fakta bahwa setiap sumber terstruktur ( X → U A i ) I {\displaystyle (X\to UA_{i})_{I}} memiliki initial awal unik ( A → A i ) I {\displaystyle (A\to A_{i})_{I}} . Dalam Top initial awal diperoleh dengan menempatkan topologi awal pada sumbernya. Kategori topologi memiliki banyak sifat yang sama dengan Top (seperti kelengkapan serat, fungsi diskrit dan tidak terpisah, dan pengangkatan batas yang unik).

Limit dan kolimit

Kategori Top adalah kompleks, yang berarti bahwa semua limit dan kolimit kecil Top. Faktanya, fungsi pelupa U  : Top → Himpunan secara unik mengangkat limit. Oleh karena itu, (ko)limit di 'Atas' diberikan dengan menempatkan topologi pada (ko)limit yang sesuai di Himpunan.

Secara khusus, jika F adalah diagram di Top' l dan (L, φ : L → F) adalah batas UF di 'Set' , batas yang sesuai dari F di Top' diperoleh dengan menempatkan topologi awal di (L, φ : L → F). Dually, kolimit dalam Top diperoleh dengan menempatkan topologi akhir pada kolom yang sesuai di Himpunan.

Tidak seperti banyak kategori aljabar , fungsi pelupa U : Top → Himpunan tidak membuat atau mencerminkan batasan karena biasanya akan ada kerucut non-universal di Top yang mencakup kerucut universal di Himpunan.

Referensi

  • Herrlich, Horst: Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
  • Herrlich, Horst: Categorical topology 1971–1981. In: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, pp. 279–383.
  • Herrlich, Horst & Strecker, George E.: Categorical Topology – its origins, as exemplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971. In: Handbook of the History of General Topology (eds. C.E.Aull & R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. vol 1 (1997) pp. 255–341.
  • Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories Diarsipkan 2015-04-21 di Wayback Machine. (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).