Reissner–Nordström-metrika

A Reissner–Nordström-metrika az Einstein-egyenletek egzakt megoldása. A megoldás az Einstein-egyenletek gömbszimmetrikus statikus megoldása. Ilyen megoldás, amely aszimptotikusan Minkowski-téridőbe megy át, kettő van; a Schwarzschild-metrika és a Reissner–Nordström-metrika. A Reissner–Nordström-metrika megfeleltethető egy M tömegű töltéssel rendelkező fizikai objektumnak.

A metrika

A Reissner–Nordström-metrikát Hans Reissner és Gunnar Nordström találta meg a következő formában:

${\displaystyle c^{2}{d\tau }^{2}=\left(1-{\color {OliveGreen}{\frac {r_{s}}{r}}}+{\color {Red}{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}}\right)c^{2}dt^{2}-{\frac {dr^{2}}{1-{\color {OliveGreen}{\frac {r_{s}}{r}}}+{\color {Red}{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}}}}-r^{2}d\Omega ^{2}}$

ahol

τ a sajátidő,

c a fénysebesség,

t az idő koordináta,

r a radiális koordináta,

továbbá

${\displaystyle \,d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}}$

r_s a Schwarzschild-sugár

${\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}$

itt G a gravitációs állandó, M pedig az objektum tömege, ami körül a téridőt vizsgáljuk^[1]

r_Q jelentése pedig

${\displaystyle r_{Q}^{2}={\frac {Q^{2}G}{4\pi \epsilon _{0}c^{4}}}}$

A színek segítenek azonosítani a különböző tagokat. A töltésnek, Q -nak, a ${\displaystyle \,\color {Red}{\text{piros}}}$ tagok felelnek meg. Ha a fekete lyuk töltése nulla, akkor a ${\displaystyle \,\color {Red}{\text{piros}}}$ tagok eltűnnek, és visszakapjuk a Schwarzschild-metrikát. A ${\displaystyle \,\color {OliveGreen}{\text{zold}}}$ tagok a tömegnek megfelelő tagok. Ha ezek is eltűnnek, akkor az üres tér megoldást kapjuk vissza, ami láthatóan megegyezik a Minkowski-téridővel, ami gömbi koordináta-rendszerben a következő alakú:

${\displaystyle c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt^{2}-dr^{2}-r^{2}d\Omega ^{2}.\,}$

Töltött fekete lyuk

A töltött fekete lyuk, ha a töltés kicsi (${\displaystyle r_{Q}\ll r_{s}}$), nagyon hasonló a Schwarzschild-metrikához. ${\displaystyle g^{rr}}$ divergál:

${\displaystyle (g^{rr})^{-1}=1-{\frac {r_{s}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}(r^{2}-r_{s}r+r_{Q}^{2})=0.}$

Feketelyuk-megoldások

Az ún. nevezett feketelyuk-megoldások rendelkezhetnek perdülettel, vagy nem (nem forgó, tehát gömbszimmetrikus megoldás). Lehetnek elektromosan töltöttek, vagy töltés nélküliek.

Ezt a négy lehetőséget (2x2) szemlélteti az alábbi táblázat. A forgásmentes töltetlen tömeg(pont) gravitációs terét írja le a Schwarzschild-megoldás, melyet 1916-ban Karl Schwarzschild talált meg. A forgásmentes, de elektromosan töltött test külső terét írja le a Reissner–Nordström-metrika.

A forgó töltetlen test terét írja le a Kerr-metrika, melyet 1963-ban Roy Kerr publikált.^[2] Végül a forgó elektromosan töltött test külső terét a Newman által talált metrika írja le, melyet Kerr–Newman-metrikának nevezünk.

Irodalom

• Reissner, H (1916). „Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie”. Annalen der Physik 50, 106–120. o. DOI:10.1002/andp.19163550905.  
• Nordström, G (1918). „On the Energy of the Gravitational Field in Einstein's Theory”. Verhandl. Koninkl. Ned. Akad. Wetenschap., Afdel. Natuurk., Amsterdam 26, 1201–1208. o.  
• Adler, R, Bazin M, and Schiffer M. Introduction to General Relativity. New York: McGraw-Hill Book Company, 395–401. o. (1965). ISBN 978-0-07-000420-7 
• Wald, RM. General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press, 158, 312–324. o. (1984). ISBN 978-0-226-87032-8 

Hivatkozások

Külső hivatkozások

• téridő diagramok melyek Finkelstein diagramot és Penrose diagramot is tartalmaznak, by Andrew J. S. Hamilton
• részecske mozgása fekete lyuk körül Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.