Főideálgyűrű

A matematikában, azon belül a gyűrűelméletben a főideálgyűrű olyan integritási tartomány, amelyben minden ideál főideál, azaz egyetlen elem generálja. A főideálgyűrű kifejezést az angol principal ideal domain elnevezés alapján gyakran PID-nek rövidítik.

Bizonyos szövegekben főideálgyűrű alatt olyan gyűrűt (és nem feltétlenül integritási tartományt) értenek, amiben minden ideál főideál. Ebben az esetben az angol principal ideal ring alapján a PIR rövidítés használatos. Ebben a szócikkben főideálgyűrűk alatt mindig integritási tartományt értünk.

A főideálgyűrűk az egész számok közeli általánosításai: igaz bennük a számelmélet alaptétele és bármely két elemnek van legnagyobb közös osztója, habár azt nem feltétlenül lehet euklideszi algoritmussal előállítani. (Az olyan gyűrűt, amikben az euklideszi algoritmus működik, euklideszi gyűrűnek nevezzük; minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű.)

Példák

• Bármely ${\displaystyle K}$ test.
• A ${\displaystyle K[X]}$ polinomgyűrű, ahol ${\displaystyle K}$ test. A megfordítás is igaz: ha ${\displaystyle A[X]}$ PID, akkor ${\displaystyle A}$ test.
• Az egész számok ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ gyűrűje.
• A Gauss-egészek ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ gyűrűje.
• Az Eisenstein-egészek ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ gyűrűje, ahol ${\displaystyle \omega }$ primitív harmadik egységgyök.
• Bármely diszkrét értékelésgyűrű, például a p-adikus egészek ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ gyűrűje.

Nem főideálgyűrűk a következők:

• A ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ polinomgyűrűben a ${\displaystyle (2,X)}$ ideál nem generálható egyetlen elemmel.
• A ${\displaystyle K[X,Y]}$ polinomgyűrű (${\displaystyle K}$ test): az ${\displaystyle (X,Y)}$ ideál nem generálható egyetlen elemmel.

Tulajdonságok

• Ha ${\displaystyle R}$ PID és ${\displaystyle a,b\in R}$, akkor a legnagyobb közös osztójuk az ${\displaystyle (a,b)}$ ideál generátorelemeként kapható meg.
• Minden alaptételes gyűrű (UFD) főideálgyűrű, de a megfordítás nem igaz: ${\displaystyle K[X,Y]}$ UFD, de nem PID.
• Minden főideálgyűrű Dedekind-gyűrű, ugyanis Noether-tulajdonságú, minden nemnulla prímideál maximális (ennek megfordítása általánosan is igaz) és egészre zárt.
• Egy integritási tartomány akkor és csak akkor PID, ha minden prímideál főideál.
• A főideálgyűrűk pontosan az alaptételes Dedekind-gyűrűk.

További információk

• Alice és Bob - 19. rész: Alice és Bob ideáljai

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Principal ideal domain című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.