Diagonális mátrix

Diagonális mátrix vagy diagonálmátrix olyan A = ( a i j ) {\displaystyle A=(a_{ij})} négyzetes mátrix, melynek minden főátlón kívüli eleme nulla:

  a i j = 0 {\displaystyle \ a_{ij}=0} minden i ≠ j {\displaystyle i\neq j} -re. Másképp fogalmazva: a diagonális mátrixok olyan speciális háromszögmátrixok, amelyek egyszerre alsó és felső háromszögmátrixok.

A diagonális mátrixot szokás így is jelölni:

d i a g ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle \mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})} , ahol a 1 , a 2 , . . . , a n {\displaystyle a_{1},\,a_{2},\,...,\,a_{n}} a főátló elemei.

Érdemes megemlíteni, hogy a diagonális mátrix főátlóbeli elemei szintén lehetnek zérók (akár mindegyik: a nullmátrix is diagonális mátrix).

Példa: A

[ − 3 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 ] = d i a g ( − 3 , 1 , 0 , 4 ) {\displaystyle {\begin{bmatrix}-3&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&4\end{bmatrix}}=\mathrm {diag} (-3,1,0,4)}

mátrix diagonális.

További diagonális mátrixok: az egységmátrix, valamint az egyelemű mátrix (tehát a skalár).

Műveletek

  • Két diagonális mátrix összege és szorzata is diagonális mátrix:
d i a g ( a 1 , a 2 , … , a n ) + d i a g ( b 1 , b 2 , … , b n ) = d i a g ( a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n + b n ) {\displaystyle \mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})+\mathrm {diag} (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=\mathrm {diag} (a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots ,a_{n}+b_{n})}
d i a g ( a 1 , a 2 , … , a n ) ⋅ d i a g ( b 1 , b 2 , … , b n ) = d i a g ( a 1 b 1 , a 2 b 2 , … , a n b n ) {\displaystyle \mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\cdot \mathrm {diag} (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n})=\mathrm {diag} (a_{1}b_{1},a_{2}b_{2},\ldots ,a_{n}b_{n})}
  • Diagonális mátrix pozitív egész kitevős hatványa is diagonális:
d i a g ( a 1 , a 2 , … , a n ) N = d i a g ( a 1 N , a 2 N , … , a n N ) {\displaystyle \mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})^{N}=\mathrm {diag} (a_{1}^{N},a_{2}^{N},\ldots ,a_{n}^{N})}
  • A d i a g ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle \mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})} diagonális mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha összes főátlóbeli a i {\displaystyle a_{i}} eleme nullától különböző, ekkor:
d i a g ( a 1 , a 2 , … , a n ) − 1 = d i a g ( a 1 − 1 , a 2 − 1 , … , a n − 1 ) {\displaystyle \mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})^{-1}=\mathrm {diag} (a_{1}^{-1},a_{2}^{-1},\ldots ,a_{n}^{-1})}
  • Az A = d i a g ( a 1 , a 2 , … , a n ) {\displaystyle A=\mathrm {diag} (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})} diagonális mátrix determinánsa főátló elemeinek szorzatával egyenlő:
det A = a 1 ⋅ a 2 ⋅ … ⋅ a n {\displaystyle \det A=a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}} .

Források

  • Diagonálmátrix Angolul a PlanetMath-on
  • matematika Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap