Suite arithmético-géométrique

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Ne pas confondre avec les suites définissant la moyenne arithmético-géométrique.

En mathématiques, une suite arithmético-géométrique est une suite satisfaisant une relation de récurrence affine, généralisant ainsi les définitions des suites arithmétiques et géométriques.

Définition

On se place dans un corps commutatif K quelconque, par exemple ℝ (corps des réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (un)n ∈ ℕ à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante :

∀ n ∈ N ,   u n + 1 = a u n + b {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,~u_{n+1}=a\,u_{n}+b} .
Remarque
On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)n ≥ n0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p[1]. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n0 si et seulement si la suite (vp)p ∈ ℕ est arithmético-géométrique.

Terme général

Cas où a = 1

Pour le cas a = 1, on a affaire à une suite arithmétique, donc

∀ n ∈ N u n = u 0 + n b {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=u_{0}+nb} .

Cas où a ≠ 1

En posant

r = b 1 − a {\displaystyle r={\frac {b}{1-a}}} ,

on a :

∀ n ∈ N u n = a n ( u 0 − r ) + r {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad u_{n}=a^{n}(u_{0}-r)+r}

(y compris si a et n sont nuls, avec la convention 00 = 1).

Démonstration[2],[3]

On cherche d'abord le point fixe, c'est-à-dire, le r tel que f(r) = r avec f la fonction x ↦ ax + b associée à la suite :

a r + b = r ⇔ r = b / ( 1 − a ) {\displaystyle ar+b=r\Leftrightarrow r=b/(1-a)} .

Puis on définit une suite translatée :

v n = u n − r {\displaystyle v_{n}=u_{n}-r} .

La relation un + 1 = aun + b se traduit alors par vn + 1 + r = a(vn + r) + b donc

v n + 1 = a v n + a r + b − r = a v n {\displaystyle v_{n+1}=av_{n}+ar+b-r=av_{n}} .

La suite (vn) est donc géométrique de raison a. Par conséquent,

u n = v n + r = a n v 0 + r = a n ( u 0 − r ) + r {\displaystyle u_{n}=v_{n}+r=a^{n}v_{0}+r=a^{n}(u_{0}-r)+r} .

D'après la remarque qui suit la définition, on en déduit que, plus généralement :

∀ p ∈ N , ∀ n ≥ p ,   u n = a n − p ( u p − r ) + r {\displaystyle \forall p\in \mathbb {N} ,\;\forall n\geq p,~u_{n}=a^{n-p}(u_{p}-r)+r} .

Somme des premiers termes

Si a ≠ 1, toujours en posant r = b/(1 – a), la somme des n premiers termes (de 0 à n – 1) est :

S n = ∑ k = 0 n − 1 u k = ( u 0 − r ) 1 − a n 1 − a + n r {\displaystyle S_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}=(u_{0}-r){\dfrac {1-a^{n}}{1-a}}+nr} .
Démonstration

D'après l'expression du terme général de la section précédente et celle de la somme des premiers termes d'une suite géométrique,

∑ k = 0 n − 1 u k = ∑ k = 0 n − 1 ( a k ( u 0 − r ) + r ) = ( u 0 − r ) ( ∑ k = 0 n − 1 a k ) + n r = ( u 0 − r ) 1 − a n 1 − a + n r . {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}u_{k}&=\sum _{k=0}^{n-1}\left(a^{k}(u_{0}-r)+r\right)\\&=(u_{0}-r)\left(\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}\right)+nr\\&=(u_{0}-r){\frac {1-a^{n}}{1-a}}+nr.\end{aligned}}}

On en déduit n'importe quelle somme de termes consécutifs : sous les mêmes hypothèses, pour n > p,

∑ k = p n − 1 u k = S n − S p = ( u p − r ) a p − a n 1 − a + ( n − p ) r {\displaystyle \sum _{k=p}^{n-1}u_{k}=S_{n}-S_{p}=(u_{p}-r){\dfrac {a^{p}-a^{n}}{1-a}}+(n-p)r} .

Convergence

Le terme général et les considérations sur les suites géométriques permettent de déterminer la limite d'une telle suite suivant les valeurs de a et, éventuellement, le signe de u0 – r (si a ≠ 1 et r = b/(1 – a)).

Dans le cas où |a| < 1, la limite de la suite est r quelle que soit la valeur initiale. La limite d'une suite de ce type est donc indépendante des conditions initiales. Cette particularité est à mettre en regard avec les suites à récurrence non linéaire (suite logistique) qui peuvent, elles, être très sensibles aux conditions initiales. Dans une chaîne de Markov, cela prouve que la chaîne converge vers une chaîne stationnaire.

Utilisation

Les suites arithmético-géométriques se rencontrent dans la modélisation de certains flux de population (apport fixe et fuite proportionnelle).

Exemple : apport de 10 et fuite de 5 % :

u n + 1 = u n + 10 − 0 , 05 u n {\displaystyle u_{n+1}=u_{n}+10-0{,}05\,u_{n}} .

Elles se rencontrent aussi dans les plans de remboursement : un capital C emprunté à un taux mensuel t et remboursé par mensualités M conduit à l'élaboration d'un plan de remboursement. Si Rn représente le capital restant dû au bout de n mensualités, la suite (Rn) est une suite arithmético-géométrique de relation de récurrence :

R n + 1 = ( 1 + t ) R n − M {\displaystyle R_{n+1}=(1+t)\,R_{n}-M} .


On les trouve aussi dans une chaîne de Markov à deux états. La matrice stochastique est alors :

( a 1 − a 1 − b b ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}} .

De la relation

( p n + 1 , q n + 1 ) = ( p n , q n ) ( a 1 − a 1 − b b ) {\displaystyle (p_{n+1},q_{n+1})=(p_{n},q_{n}){\begin{pmatrix}a&1-a\\1-b&b\end{pmatrix}}}

on déduit que :

p n + 1 = a p n + ( 1 − b ) q n {\displaystyle p_{n+1}=ap_{n}+(1-b)q_{n}} .

Comme d'autre part

q n = 1 − p n {\displaystyle q_{n}=1-p_{n}} ,

en remplaçant on obtient :

p n + 1 = ( a + b − 1 ) p n + 1 − b {\displaystyle p_{n+1}=(a+b-1)p_{n}+1-b} .

Notes et références

  1. ↑ J'intègre de Deschamps et Warusfel, tome 1, p. 127.[réf. incomplète]
  2. ↑ J.-P. Ramis et A. Warusfel (dir.), Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence – niveau 1, Dunod, coll. « Sciences Sup », , 3e éd. (1re éd. 2006) (lire en ligne), p. 532.
  3. ↑ Voir aussi, pour une preuve plus méthodique et incluant le cas a = 1 précédent et les réciproques des deux cas, la leçon sur Wikiversité (lien ci-dessous).

Voir aussi

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