Catégorie discrète

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En théorie des catégories, une branche des mathématiques, une catégorie discrète est une catégorie dont les seuls morphismes sont les identités ^[1]:

• hom_C(X, X) = {id_X} pour tout objet X ;
• hom_C(X, Y) = ∅ pour tous objets X ≠ Y.

L'existence des identités étant imposée par la définition de catégorie, on peut reformuler ce qui précède par une condition sur la cardinalité des ensembles de morphismes :

• | hom _C ( X, Y ) | vaut 1 lorsque X = Y et 0 lorsque X ≠Y .

Autrement dit, le nombre de morphismes de chaque ensembles de morphismes est minimal.

Certains auteurs adoptent une définition plus faible d'une catégorie discrète : une catégorie est dite discrète lorsqu'elle est équivalente à une catégorie vérifiant les axiomes énoncés ci-dessus.

Propriétés

• Toute classe peut être considérée comme une catégorie discrète en lui ajoutant les identités^[2].
• Toute sous-catégorie d'une catégorie discrète est discrète.
• Une catégorie est discrète si et seulement si toutes ses sous-catégories sont pleines.
• Le produit d'une famille d'objets est défini par la limite d'un foncteur d'une catégorie discrète dans une catégorie quelconque.
• De manière duale, la somme d'une famille d'objets est la colimite d'un foncteur d'une catégorie discrète dans une catégorie quelconque.

Références

• Robert Goldblatt (1984). Topoi, the Categorial Analysis of Logic (Studies in logic and the foundations of mathematics, 98). Hollande du Nord. Réimprimé en 2006 par Dover Publications et disponible en ligne depuis la page d'accueil de Robert Goldblatt .

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