Roottori (matematiikka)

Matematiikassa roottori (pyörre, pyörteisyys, pyörteen tiheys; engl. curl, rotor) tarkoittaa vektoriarvoisiin funktioihin eli vektorikenttiin kohdistettavaa differentiaalioperaattoria.

Roottorin esitys karteesisessa koordinaatistossa

Karteesisessa koordinaatistossa roottorin laskukaava voidaan kirjoittaa kätevästi determinantin avulla:^{[1] (s. 120)}

${\displaystyle {\mbox{rot}}(\mathbf {F} )={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$,

missä

${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=F_{x}{\vec {i}}+F_{y}{\vec {j}}+F_{z}{\vec {k}}}$ on vektorikenttä.

Tästä muodosta huomataan, että funktion roottori voidaan ajatella funktion ja nablan ristitulona, eli

${\displaystyle {\mbox{rot}}(\mathbf {F} )=\nabla \times \mathbf {F} }$,

jota käytetäänkin yleisesti roottorin symbolina. Lukutapa on luonnollinen 'nabla risti F'. Roottorin laskukaavan purettu muoto on

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =({\frac {\partial }{\partial _{y}}}F_{z}-{\frac {\partial }{\partial _{z}}}F_{y}){\vec {i}}+({\frac {\partial }{\partial _{z}}}F_{x}-{\frac {\partial }{\partial _{x}}}F_{z}){\vec {j}}+({\frac {\partial }{\partial _{x}}}F_{y}-{\frac {\partial }{\partial _{y}}}F_{x}){\vec {k}}.}$

Roottori on merkittävä operaattori matematiikassa ja fysiikassa erityisesti Stokesin lauseen vuoksi.

Roottori fysiikassa

Fysikaalisen vektorikentän roottoria sanotaan kentän pyörrekentäksi, koska roottori kuvaa kentän pyörteisyyttä. Kentän pyörteisyyden suunta saadaan oikean käden säännöllä: kun peukalo osoittaa roottorin suuntaan, kertoo muiden sormien luonnollisen asennon osoittama suunta kentän "pyörimissuunnan". Vektorikentän roottori pisteessä on pyörteisen kentän aiheuttajien tiheys. Mikäli roottori jossain alueessa on nolla, sanotaan kenttää tässä alueessa pyörteettömäksi. Kaikki konservatiiviset kentät ovat pyörteettömiä, esimerkkejä ovat muun muassa maan painovoimakenttä ja staattinen sähkökenttä. Roottori on erityisen olennainen käsite sähkömagnetismissa, mikä nähdään jo Maxwellin yhtälöiden differentiaalimuodoista. Esimerkiksi Faradayn laista

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$

nähdään, että jos magneettivuon tiheyden B aikaderivaatta on nollasta poikkeava, on sähkökentässä pyörre eikä se siis ole konservatiivinen.

Roottorin vaihtoehtoinen määritelmä

Roottori kuvaa siis vektorikentän pyörteisyyttä, mikä ei ole kovin intuitiivista matemaattisen määritelmän pohjalta. Vaihtoehtoisesti voidaan määritellä roottori Stokesin lauseen kanssa ekvivalentisti. Tällöin sovitaan, että vektorikentän F roottorin suunta on sellainen, että roottoria vastaan kohtisuoran, äärettömän pienen pinta-alan dA ympäri suljettua silmukkaa pitkin kierrettäessä polkuintegraali ${\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} }$ saa suurimman mahdollisen arvonsa, ja tämän integraalin arvo jaettuna pinta-alalla dA on roottorin pituus. Äärettömän pieni eli differentiaalinen pinta-ala on tässä polun C rajoittama, ja polku kierretään siten, että pinta dA on kulkusuuntaan nähden vasemmalla. Roottorin pituus voidaan kirjoittaa matemaattisesti

${\displaystyle |\nabla \times \mathbf {F} |=\lim _{\Delta A\to 0}{\frac {\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} }{\Delta A}}}$,

missä raja-arvo kuvaa pinta-alan pienenemistä äärettömän pieneksi. Tämän määritelmän pohjalta voidaan geometrisestikin ymmärtää, miksi roottori kuvaa kentän pyörteisyyttä: roottorin suuruus kertoo, miten voimakkaasti kenttä suurimmillaan vaikuttaa differentiaalisen silmukan tangentiaaliseen komponenttiin koko polun matkalla. Esimerkiksi homogeenisen kentän (kaikkialla yhtä suuri ja samansuuntainen) polkuintegraali differentiaalista suljettua silmukkaa pitkin on aina nolla, joten kenttä on pyörteetön, kuten odottaa sopii. Kentän pyörteisyyden suunta saatiin siis oikean käden säännöllä. Stokesin lause seuraa määritelmästä lähes suoraan.

Roottori käyräviivaisissa koordinaatistoissa

Sylinterikoordinaatistossa annetun funktion roottori saadaan kaavalla^{[1](s. 138)}

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (r,\phi ,z)={\frac {1}{r}}{\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{r}&r{\vec {e}}_{\phi }&{\vec {e}}_{z}\\{\frac {\partial }{\partial _{r}}}&{\frac {\partial }{\partial _{\phi }}}&{\frac {\partial }{\partial _{z}}}\\F_{r}&rF_{\phi }&F_{z}\end{vmatrix}}}$

ja pallokoordinaatistossa^{[1](s. 140)}

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} (r,\theta ,\phi )={\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\begin{vmatrix}{\vec {e}}_{r}&r{\vec {e}}_{\theta }&r\sin \theta {\vec {e}}_{\phi }\\{\frac {\partial }{\partial _{r}}}&{\frac {\partial }{\partial _{\theta }}}&{\frac {\partial }{\partial _{\phi }}}\\F_{r}&rF_{\theta }&r\sin \theta F_{\phi }\end{vmatrix}}}$.

Katso myös

• Gradientti
• Divergenssi

Lähteet

Kirjallisuutta

• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla

• Mathworld. Curl