Millerin indeksit

Tähän artikkeliin tai osioon ei ole merkitty lähteitä, joten tiedot kannattaa tarkistaa muista tietolähteistä. Voit auttaa Wikipediaa lisäämällä artikkeliin tarkistettavissa olevia lähteitä ja merkitsemällä ne ohjeen mukaan.

Kristallografiassa Millerin indeksit ovat merkintätapa, jolla kiderakenteen suunnat ja tasot sekä diffraktogrammien heijastukset merkitään. Indeksointijärjestelmä on nimetty 1800-luvulla eläneen mineralogin ja kristallografin William Hallowes Millerin mukaan.

Millerin indeksit merkitään kirjaimilla ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle k}$ ja ${\displaystyle l}$, jotka vastaavat Bravais'n hilan yksikkökopin hilavektoreita ${\displaystyle {\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\vec {b}}}$ ja ${\displaystyle {\vec {c}}}$.

On sovittu, että indeksit ${\displaystyle h}$, ${\displaystyle k}$ ja ${\displaystyle l}$ ovat aina kokonaislukuja. Negatiivista indeksiä, esimerkiksi ${\displaystyle -h}$, merkitään perinteisesti viivalla Millerin indeksin yläpuolella ${\displaystyle {\overline {h}}}$.

Millerin indeksien ympärillä olevat sulkeet kertovat paljon. Hakasuluissa olevat millerin indeksit ${\displaystyle [hkl]}$ viittaavat kidesuuntaan, kaarisulkeissa olevat ${\displaystyle (hkl)}$ kidetasoon. Merkintä ${\displaystyle <hkl>}$ tarkoittaa niiden kidesuuntien joukkoa, jotka ovat symmetrisesti ekvivalentteja ja ${\displaystyle \{hkl\}}$ tarkoittaa vastaavasti symmetrisesti ekvivalentteja tasoja. Ilman sulkeita ${\displaystyle hkl}$ Millerin indeksit viittaavat diffraktiomaksimiin, joka tulee kidetasosta ${\displaystyle (hkl)}$.

Kidesuunnat merkitään hakasulkeilla ${\displaystyle [hkl]}$. Suunta on

${\displaystyle h{\vec {a}}+k{\vec {b}}+l{\vec {c}}}$.

Esimerkiksi suunta ${\displaystyle [100]}$ vastaa kiteessä hilavektorin ${\displaystyle {\vec {a}}}$ suuntaa. ${\displaystyle [200]}$ on samaan suuntaan ja ${\displaystyle [112]}$ on suuntaan ${\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}+2{\vec {c}}}$.

Tasot merkitään kaarisulkeilla ${\displaystyle (hkl)}$. Taso virittyy avaruuteen vektoreiden

${\displaystyle {\frac {\vec {a}}{h}}}$, ${\displaystyle {\frac {\vec {b}}{k}}}$ ja ${\displaystyle {\frac {\vec {c}}{l}}}$

kärkien muodostaman kolmen pisteen kautta.

Jos joku indekseistä on nolla, taso ei leikkaa sitä vastaavaa yksikkökopin akselia vaan kohtaa sen "äärettömyydessä" eli muodostuva taso on tämän 0-vektorin suuntainen. Siispä kuutiollisessa hilassa taso ${\displaystyle (300)}$ leikkaa vain hilavektorin ${\displaystyle {\vec {a}}}$. Yhteen yksikkökoppiin mahtuu kolme sellaista tasoa korkeuksille ${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle a/3}$ ja ${\displaystyle 2a/3}$ suuntaan ${\displaystyle {\vec {a}}}$.

Oletetaan, että taso leikkaa hilavektorit kohdissa ${\displaystyle {\frac {3}{5}}{\vec {a}}}$, ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\vec {b}}}$ ja ${\displaystyle {\frac {1}{5}}{\vec {c}}}$. Tällöin Millerin indeksit eivät olisi kokonaislukuja vaan ${\displaystyle ({\frac {5}{3}}\ 2\ 5)}$. On kuitenkin sovittu, että indeksit merkitään aina kokonaisluvuilla, joten taso merkitäänkin ${\displaystyle (5\ 6\ 15)}$, missä kaikki indeksit on kerrottu luvulla 3. Indekseillä ei myöskään saa olla yhteistä tekijää, mikä sulkee pois sieventämiset esimerkiksi luvulla 6.

Suunta ${\displaystyle [hkl]}$ on kohtisuora tasoa ${\displaystyle (hkl)}$ vastaan kuutiollisessa hilassa, mutta ei välttämättä muissa hiloissa.

Diffraktogrammin eli esimerkiksi röntgendiffraktiomittauksella kiteisestä aineesta saadun kuvaajan diffraktiomaksimit indeksoidaan Millerin indekseillä ilman sulkeita ${\displaystyle hkl}$. Maksimi vastaa tällöin heijastusta kidetasosta ${\displaystyle (hkl)}$.

• Kiderakenne
• Röntgendiffraktio
• Röntgenkristallografia

• Cullity, B.D. & Stock, S.R.: Elements of X-ray Diffraction. 3rd Edition. Prentice Hall, 2001. ISBN 0-201-61091-4.