Punto de acumulación

En topología, el concepto de punto de acumulación (también denominado punto límite o punto de aglomeración ^[1]) de un conjunto en un espacio captura la noción informal de punto que está arbitrariamente próximo a otros puntos del conjunto sin pertenecer necesariamente a él. Informalmente hablando, un punto de acumulación de un conjunto S en un espacio topológico X es un punto x en X que puede ser aproximado por puntos de S distintos a x tanto como se desee.

Este concepto generaliza la noción de límite y puede ser base de conceptos como conjunto cerrado y cerradura topológica. Ciertamente, un conjunto es cerrado si y solo si contiene todos sus puntos de acumulación, y la operación topológica de cerradura puede considerarse como el resultado de agregar a un conjunto todos sus puntos de acumulación.

Definición

Sea $(X,\tau )$ un espacio topológico y S un subconjunto de X. Diremos que x es un punto de acumulación de S si y solamente si para cualquier subconjunto abierto U del espacio X que contenga al punto x, $U_{x}$ se tiene que $S\cap (U_{x}-\{x\})\neq \emptyset$ .

Ejemplos

El intervalo $(0,1)$ tiene como puntos de acumulación a todos los puntos del intervalo $[0,1]$ .

Un conjunto finito de números reales en la topología estándar no tiene puntos de acumulación.

Sin embargo, cualquier número es un punto de acumulación de un conjunto finito en la topología trivial de los números reales.

$\mathbb {N}$ no tiene puntos de acumulación cuando se considera como subconjunto de $\mathbb {R}$ en la topología estándar. Por lo tanto, cada punto en $N$ es aislado.

Propiedades

Caracterización de los puntos de acumulación

x es un punto límite de S si y solo si está en la cerradura de S \ {x}.

'Demostración: Partamos del hecho de que un punto está en la cerradura de un conjunto si y solo si toda vecindad del punto tiene intersección no vacía con el conjunto. Ahora, x es un punto límite de S ssi toda vecindad de x contiene un punto de S distinto a x ssi toda vecindad de x contiene un punto de S \ {x} sii x está en la cerradura de S \ {x}.

Si usamos L(S) para denotar el conjunto de puntos límite de S, entonces tenemos la siguiente caracterización de la cerradura de S: La cerradura de S es igual a la unión de S y L(S).
- Demostración: Supongamos que x está en la cerradura de S. Si x está en S, está demostrado. Si x no está en S, entonces toda vecindad de x contiene un punto de S, y este punto no puede ser x. En otras palabras, x es un punto límite de S y x está en L(S).

Recíprocamente, si x está en S, entonces toda vecindad de x claramente tiene intersección no vacía con S, así que x está en la cerradura de S. Si x está en L(S), entonces toda vecindad de x contiene un punto de S (distinto de x), así que x está en la cerradura de S. Esto completa la prueba.

Un corolario de este resultado nos da una caracterización de los conjuntos cerrado: un conjunto S es cerrado si y solo si este contiene a todos sus puntos límite.

Caracterización de conjuntos cerrados

Teorema: $E\,$ es un conjunto cerrado si $E'\subset E$ , donde $E'\,$ es el conjunto de todos los puntos de acumulación de $E\,$ .

Válido para cualquier espacio (métricos, topológicos, etc).

Otras propiedades

Ningún punto aislado es el punto de límite de un conjunto que no lo contenga.
Un espacio X es discreto si y solo si ningún subconjunto de X tiene puntos límites.
Si un espacio X tiene la topología trivial y S es un subconjunto de X con más de un elemento, entonces todos los elementos de X son puntos límites de S.