Fórmula de Manning

La fórmula de Manning^[1]​ es una evolución de la fórmula de Chézy para el cálculo de la velocidad del agua en canales abiertos y tuberías, propuesta por el ingeniero irlandés Robert Manning en 1889:

${\displaystyle V={\frac {1}{n}}R_{h}^{\frac {2}{3}}\cdot S^{\frac {1}{2}}}$

siendo S la pendiente en tanto por 1 del canal.

Para algunos, es una expresión del denominado coeficiente de Chézy ${\displaystyle C}$ utilizado en la fórmula de Chézy,

${\displaystyle V(h)=C{\sqrt {R(h)*S}}}$

Expresiones de la fórmula de Manning

La expresión más simple de la fórmula de Manning se refiere al coeficiente de Chézy:

${\displaystyle C={\frac {1}{n}}(R(h))^{1/6}}$

De donde, por sustitución en la ya referida fórmula de Chézy, se deduce su forma más habitual:

${\displaystyle V(h)={\frac {1}{n}}(R(h))^{2/3}{\sqrt {S}}}$

o

${\displaystyle Q(h)={\frac {1}{n}}A(R(h))^{2/3}{\sqrt {S}}}$

siendo:

• ${\displaystyle \ C}$ = coeficiente de proporcionalidad que se aplica en la fórmula de Chézy: ${\displaystyle V(h)=C{\sqrt {R(h)*S}}}$;
• ${\displaystyle \ R(h)}$ = radio hidráulico,en m, que es función del tirante hidráulico h;
• ${\displaystyle \ n}$ = coeficiente que depende de la rugosidad de la pared;
• ${\displaystyle \ V(h)}$ = velocidad media del agua, en m/s, que es función del tirante hidráulico h;
• ${\displaystyle \ S}$ = la pendiente de la línea de agua en m/m;
• ${\displaystyle \ A}$ = área de la sección del flujo de agua;
• ${\displaystyle \ Q(h)}$ = caudal del agua en m³/s.

También se puede escribir de la siguiente forma (usando el Sistema Internacional de Unidades):

${\displaystyle \ V(h)={\frac {1}{n}}*{\left({\frac {A(h)}{P(h)}}\right)}^{2/3}*S^{1/2}}$

o

${\displaystyle \ Q(h)={\frac {1}{n}}*{\frac {{A(h)}^{5/3}}{{P(h)}^{2/3}}}*S^{1/2}}$

donde:

• ${\displaystyle \ A(h)}$ = área mojada (área de la sección del flujo de agua), en m², función del tirante hidráulico h;
• ${\displaystyle \ P(h)}$ = perímetro mojado, en m, función del tirante hidráulico h;
• ${\displaystyle \ n}$ = coeficiente que depende de la rugosidad de la pared y cuyo valor varía entre 0,01 para paredes muy pulidas (p.e., plástico) y 0,06 para ríos con fondo muy irregular y con vegetación;
• ${\displaystyle \ V(h)}$ = velocidad media del agua, en m/s, que es función del tirante hidráulico h;
• ${\displaystyle \ Q(h)}$ = caudal del agua en, m³/s, en función del tirante hidráulico h;
• ${\displaystyle \ S}$ = pendiente de la línea de agua en m/m.

Para el sistema unitario anglosajón:

${\displaystyle \ V(h)={\frac {1,486}{n}}*{\left({\frac {A(h)}{P(h)}}\right)}^{2/3}*S^{1/2}}$

${\displaystyle \ Q(h)={\frac {1,486}{n}}*{\frac {{A(h)}^{5/3}}{{P(h)}^{2/3}}}*S^{1/2}}$

donde:

• ${\displaystyle \ A(h)}$ = área mojada, en pies², función del tirante hidráulico h;
• ${\displaystyle \ P(h)}$ = perímetro mojado, en pies, función del tirante hidráulico h;
• ${\displaystyle \ n}$ = coeficiente que depende de la rugosidad de la pared;
• ${\displaystyle \ V(h)}$ = velocidad media del agua, en pies/s, que es función del tirante hidráulico h;
• ${\displaystyle \ Q(h)}$ = caudal del agua en, pies³/s, en función del tirante hidráulico h;
• ${\displaystyle \ S}$ = pendiente de la línea de agua en pies/pies.

Demostración fisicomatemática^[2]​

Considere una partícula ∂m de fluido sometido a una fuerza y torque diferencial: La aceleración lineal es concebible, pero la aceleración angular es infinita. Entonces, como la observación indica que hay rotación en los fluidos, la aceleración y el torque deben haber desaparecido para el momento en que fueron observados, y la velocidad angular se volvió constante. Entonces, para un fluido incompresible y newtoniano, debido al teorema de Helmholtz , podemos determinar:

La demostración está aquí:

https://www.academia.edu/37329892/DEMOSTRACION_DE_LA_FORMULA_DE_MANNING English: https://www.academia.edu/37869711/MANNING_FORMULA_DEMONSTRATION

El coeficiente de rugosidad ${\displaystyle \ n}$

El ingeniero irlandés Robert Manning presentó, el 4 de diciembre de 1889, en el Institute of Civil Engineers de Irlanda, una fórmula compleja para la obtención de la velocidad, que podía simplificarse como ${\displaystyle \ V=C*R^{2/3}*S^{1/2}}$.

Tiempo después fue modificada por otros y expresada en unidades métricas como ${\displaystyle V={\frac {1}{n}}*R^{2/3}*S^{1/2}}$.

Cuando fue convertida a unidades inglesas, debido a que 1 m = 3,2808 pies, se obtuvo su expresión en ese sistema de unidades anglosajón ${\displaystyle V={\frac {1,486}{n}}*R^{2/3}*S^{1/2}}$, manteniendo sin modificar los valores de ${\displaystyle \ n}$.

Al hacer el análisis dimensional de ${\displaystyle \ n}$ se deduce que tiene unidades ${\displaystyle \ TL^{-1/3}}$. Como no resulta explicable que aparezca el término ${\displaystyle \ T}$ en un coeficiente que expresa rugosidad, se ha propuesto hacer intervenir un factor ${\displaystyle {\sqrt {g}}}$, siendo g la aceleración de la gravedad, con lo que las unidades de ${\displaystyle \ n}$ serían ${\displaystyle \ L^{1/6}}$, más propias del concepto físico que pretende representar.^[5]​

El valor del coeficiente es más alto cuanta más rugosidad presenta la superficie de contacto de la corriente de agua. Algunos de los valores que se emplean de n son:

Véase también

• Canal
• Fórmula de Bazin
• Fórmula de Kutter
• Fórmula de Strickler

Referencias

Bibliografía

• Manuale dell'ingegnere. Giuseppe Colombo. 80a Edizione, Hoepli, 1971. pág. 270.
• Hidráulica de los canales abiertos. Ven Te Chow. 1982. ISBN 968-13-1327-5
• Hidráulica de canales. Franklin Ramírez. 1991. Editora universitaria UASD.
• Hidráulica de canales abiertos. Richard H. French. 1988. McGraw Hill, México.