Rapidität (Physik)

Die Rapidität ist ein alternatives Maß für Geschwindigkeit, das in der speziellen Relativitätstheorie verwendet wird. Als Formelzeichen wird meist θ {\displaystyle \theta } (kleines Theta) verwendet. Erstmals formuliert wurde der Begriff im Jahr 1911 von Alfred Robb.

Die Rapidität ist definiert als

θ = artanh ⁡ ( v / c ) , {\displaystyle \theta =\operatorname {artanh} (v/c),}

wobei

  • v {\displaystyle v} die Geschwindigkeit und
  • c {\displaystyle c} die Lichtgeschwindigkeit
  • artanh {\displaystyle \operatorname {artanh} } die Areatangens-hyperbolicus-Funktion ist.

Die Rapidität misst die Geschwindigkeit in Einheiten der Lichtgeschwindigkeit, die ein beschleunigter Körper ohne relativistische Effekte hätte. Die Rapidität ist daher unbeschränkt (Wertebereich θ = ( − ∞ , + ∞ ) {\displaystyle \theta =(-\infty ,+\infty )} ), was eine natürlichere Betrachtungsweise darstellt als die Beschränkung der tatsächlichen Geschwindigkeit, die niemals die Lichtgeschwindigkeit überschreiten kann (Wertebereich v = ( − c , + c ) {\displaystyle v=(-c,+c)} ).

Außerdem hat die Rapidität den Vorteil, dass zwei Rapiditäten einfach addiert werden können, während man bei Geschwindigkeiten das relativistische Additionstheorem verwenden muss.[1]

Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten nähert sich die Rapidität dem Wert von v c {\displaystyle {\frac {v}{c}}} an:

v ≪ c ⇔ v / c ≪ 1 ⇒ θ ≈ v / c . {\displaystyle v\ll c\Leftrightarrow v/c\ll 1\Rightarrow \theta \approx v/c.}

In der Teilchenphysik

Anstelle der exakten Formel

θ = 1 2 ⋅ ln ⁡ ( 1 + β 1 − β ) = 1 2 ⋅ ln ⁡ ( E + c p E − c p ) {\displaystyle \theta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {1+\beta }{1-\beta }}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+cp}{E-cp}}\right)}

mit

  • β = v / c {\displaystyle \beta =v/c}
  • Energie E {\displaystyle E}
  • Impuls p = | p → | {\displaystyle p=|{\vec {p}}|}

wird in der experimentellen Teilchenphysik oft eine relativ zur Strahlachse definierte Rapidität gemäß

θ Beamline = 1 2 ⋅ ln ⁡ ( E + c p L E − c p L ) {\displaystyle \theta _{\text{Beamline}}={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {E+cp_{L}}{E-cp_{L}}}\right)}

verwendet, worin der Longitudinalimpuls p L {\displaystyle p_{L}} die Impulskomponente entlang der Strahlachse ist.

Die verwandte Größe der Pseudorapidität ist definiert als[2]

η = 1 2 ⋅ ln ⁡ ( p + p L p − p L ) . {\displaystyle \eta ={\frac {1}{2}}\cdot \ln \left({\frac {p+p_{L}}{p-p_{L}}}\right).}

Einzelnachweise

  1. ↑ Theoretische Physik, Seite 327 von Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf, Springer-Verlag, 2014, abgerufen am 19. Februar 2016.
  2. ↑ Theoretische Physik, Seite 372 von Matthias Bartelmann, Björn Feuerbacher, Timm Krüger, Dieter Lüst, Anton Rebhan, Andreas Wipf, Springer-Verlag, 2014, abgerufen am 19. Februar 2016.