Elektrický potenciál

Elektrický potenciál je skalární fyzikální veličina, která popisuje potenciální energii jednotkového elektrického náboje v elektrostatickém poli. Jedná se o potenciál elektrického pole, tj. množství práce potřebné pro přenesení jednotkového elektrického náboje ze vztažného místa o nulovém potenciálu (tzv. vztažný bod) do daného místa. Za místo s nulovým potenciálem se obvykle bere buď nekonečně vzdálený bod nebo povrch Země. Rozdíl potenciálů dvou bodů je roven napětí mezi danými body.

Značka: $\varphi$

Jednotka SI: volt, značka $V$

Definice

Potenciál bodového náboje $Q$ umístěného v počátku soustavy souřadnic lze vyjádřit vztahem:

\varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{|{\boldsymbol {r}}|}}+\varphi _{0}

kde $\varepsilon$ je permitivita prostředí, ${\boldsymbol {r}}$ je polohový vektor potenciálu $\varphi$ a $\varphi _{0}$ je integrační konstanta, která určuje hodnotu potenciálu v nekonečnu. Obvykle se klade $\varphi _{0}=0$ .

Potenciál objemově rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

\varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{V}{\frac {\rho ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}}\mathrm {d} V

kde $V$ je objem, přes který se integruje a $\rho$ je objemová hustota náboje.

Tento potenciál je definován ve všech bodech prostoru daného objemu, tedy také v bodech, ve kterých je hustota náboje nenulová. Tím se potenciál spojitě rozloženého náboje odlišuje od potenciálu soustavy diskrétních bodových nábojů. Tento potenciál je navíc všude spojitý a má ve všech bodech prostoru parciální derivaci alespoň prvního řádu, což v souvislosti s intenzitou elektrického pole znamená, že také intenzita pole daná tímto vztahem je definována ve všech bodech prostoru včetně bodů, v nichž je hustota náboje nenulová. Totéž platí pro plošně resp. lineárně rozložené náboje:

Potenciál plošně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

\varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{S}{\frac {\sigma ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}}\mathrm {d} S

kde $S$ je plocha, přes kterou se integruje a $\sigma$ je plošná hustota náboje.

Potenciál lineárně rozloženého náboje lze vyjádřit vztahem:

\varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\int _{l}{\frac {\tau ({\boldsymbol {r}}^{\prime })}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}^{\prime }|}}\mathrm {d} l

kde $l$ je délka, přes kterou se integruje a $\tau$ je lineární hustota náboje.

Jelikož elektrický potenciál vyjadřuje potenciální energii na jednotku náboje, je možné jej vyjádřit jako

\varphi ={\frac {W}{Q}}

kde $W$ je potenciální energie nabitého tělesa a $Q$ je jeho náboj.

Vlastnosti

Na základě principu superpozice lze odvodit výraz pro potenciál soustavy $n$ bodových nábojů $Q_{1}$ až $Q_{n}$ , jejichž polohové vektory jsou ${\boldsymbol {r}}_{1}$ až ${\boldsymbol {r}}_{n}$ :

\varphi ({\boldsymbol {r}})={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}}{|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{i}|}}+\varphi _{0}

Potenciál jednoho z bodových nábojů $Q_{i}$ ze soustavy nábojů $Q_{1}$ až $Q_{n}$ vzhledem k ostatním nábojům soustavy lze určit podle principu superpozice jako

\varphi _{i}={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}\sum _{j\neq i}^{n}{\frac {Q_{j}}{|{\boldsymbol {r}}_{i}-{\boldsymbol {r}}_{j}|}}

Dosadíme-li do Gaussova zákona elektrostatiky pro spojitě rozložený náboj místo intenzity elektrického pole potenciál, dostaneme:

\operatorname {div} {\boldsymbol {E}}=-\operatorname {div} \,\operatorname {grad} \,\varphi ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}

tj. pro Laplaceův operátor $\Delta =\operatorname {div} \,\operatorname {grad}$ dostaneme Poissonovu rovnici $\Delta \varphi =-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$ , která je platná ve všech bodech prostoru, v nichž platí Gaussův zákon elektrostatiky. Pokud je v některých bodech prostoru objemová hustota nulová, tj. $\rho =0$ , zjednoduší se rovnice na Laplaceova rovnici $\Delta \varphi =0$ .

Záporný gradient potenciálu je roven intenzitě elektrického pole, tj.:

{\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}})=-\operatorname {grad} \,\varphi ({\boldsymbol {r}})

Potenciál elektrostatického pole pak lze chápat jako potenciální energii jednotkového náboje. Položíme-li potenciál v nekonečnu roven nule, tj. $\varphi _{0}=0$ , pak lze psát:

\varphi ({\boldsymbol {r}})=-\int _{\infty }^{\boldsymbol {r}}{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {l}}

Plocha, na níž si potenciál zachovává svoji hodnotu, tj. $\varphi ={\mbox{konst}}$ , se nazývá ekvipotenciální plocha. Siločáry jsou vždy kolmé k ekvipotenciální ploše. To lze ukázat diferenciací vztahu $\varphi ={\mbox{konst}}$ , tj.:

\mathrm {d} \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\mathrm {d} y+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\mathrm {d} z=-(E_{x}\mathrm {d} x+E_{y}\mathrm {d} y+E_{z}\mathrm {d} z)=-{\boldsymbol {E}}\cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {r}}=0

kde $\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}$ leží v rovině tečné k ekvipotenciální ploše. Vektory ${\boldsymbol {E}}$ a $\mathrm {d} {\boldsymbol {r}}$ jsou tedy vzájemně kolmé, tzn. ${\boldsymbol {E}}$ je kolmé k ekvipotenciální ploše.