Vector d'ona

El vector d'ona és un vector que apunta en la direcció de propagació de l'ona en qüestió i la magnitud és el nombre d'ona. La seva expressió en matemàtica és:

k = k o = 2 π λ o {\displaystyle \mathbf {k} =k\mathbf {o} ={\frac {2\pi }{\lambda }}\mathbf {o} }

on o → {\displaystyle {\vec {o}}} és la direcció de la propagació de l'ona. D'aquesta manera, per a una ona genèrica tenim que:

ϕ ( r , t ) = ϕ ( k ⋅ r − ω t ) = ϕ ( k x x + k y y + k z z − ω t ) {\displaystyle \phi (\mathbf {r} ,t)=\phi (\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)=\phi (k_{x}x+k_{y}y+k_{z}z-\omega t)}

Aplicacions

Transversalitat de les ones electromagnètiques planes

El formalisme mitjançant el vector d'ona permet veure ràpidament que les ones electromagnètiques planes són transversals, és a dir, l'oscil·lació del camp elèctric i magnètic és perpedincular a la direcció de propagació de l'ona i perpendiculars entre si.

Per demostrar això considerem, sense pèrdua de generalitat, una ona electromagnètica plana de la forma:

E ( r , t ) = E 0 e i ( k ⋅ r − ω t ) , B ( r , t ) = B 0 e i ( k ⋅ r − ω t ) {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E_{0}} e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)},\qquad \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B_{0}} e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}

Suposant una regió de l'espai sense densitat de càrrega ρ = 0 {\displaystyle \scriptstyle \rho =0} , la llei de Gauss per la divergència del camp elèctric ens porta que:

∇ ⋅ E = i k ⋅ E 0 = ρ ϵ 0 = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} =i\mathbf {k} \cdot \mathbf {E_{0}} ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}=0}

D'on obtenim la perpendicularitat entre el camp elèctric i la direcció de propagació:

(*) o ^ ⋅ E 0 = 0 → o ^ ⋅ E = 0 → E   ⊥   o ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {o}} \cdot \mathbf {E_{0}} =0\rightarrow \mathbf {\hat {o}} \cdot \mathbf {E} =0\qquad \rightarrow \qquad \mathbf {E} \ \bot \ \mathbf {\hat {o}} }

Usant ara la llei de Faraday per al rotacional del camp elèctric tenim:

(**) ∇ × E = i k × E = − ∂ B ∂ t = i ω B {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =i\mathbf {k} \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=i\omega \mathbf {B} }

De(**), per les propietats del producte vectorial, es dedueix:

o ^   ⊥   B {\displaystyle \mathbf {\hat {o}} \ \bot \ \mathbf {B} }

Per tant de les expressions (*) i (**) es pot concloure que el camp elèctric és perpendicular al vector d'ona, i per tant a la direcció de propagació, i que el camp magnètic és perpendicular tant a la direcció de propagació com al camp elèctric. Els vectors { k , E , B } {\displaystyle \scriptstyle \{\mathbf {k} ,\mathbf {E} ,\mathbf {B} \}} formen un triedre que en cada punt de l'espai constitueix una base vectorial.

Nota