Secció (geometria)

Vista de la secció longitudinal d'una peça.

En geometria descriptiva, la secció d'un sòlid és la intersecció d'un pla amb el sòlid. Existeixen dos tipus especials de secció: la secció longitudinal –quan el pla de tall α és paral·lel a l'eix principal del sòlid– i la secció transversal –quan el pla α és perpendicular a l'eix del sòlid.

El principi de Cavalieri postula que els sòlids amb les corresponents seccions d'igual àrea tenen iguals volums.

En geometria

L'àrea de la secció ( A ′ {\displaystyle A'} ) d'un objecte quan es mira des d'un angle particular és l'àrea total de la projecció ortogràfica de l'objecte des d'aquest angle. Per exemple, un cilindre d'alçada h i radi r té àrea A ′ = π r 2 {\displaystyle A'=\pi r^{2}} quan es mira al llarg del seu eix central, i A ′ = 2 r h {\displaystyle A'=2rh} quan es mira des d'una direcció ortogonal. Una esfera de radi r té una àrea A ′ = π r 2 {\displaystyle A'=\pi r^{2}} quan es mira des de qualsevol angle. D'una manera més general, A ′ {\displaystyle A'} es pot calcular mitjançant la següent integral de superfície:

A ′ = ∬ d a l t d A ⋅ r ^ {\displaystyle A'=\iint \limits _{\mathrm {dalt} }d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} }

On r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } és el vector unitari al llarg de la direcció de visió de l'observador, d A {\displaystyle d\mathbf {A} } és un element superficial amb una normal apuntant cap a fora, i la integral es pren tan sols sobre la superfície superior, la part que és "visible" des de la perspectiva de l'observador. Per un cos convex, cada raig a través de l'objecte des de la perspectiva de l'observador creua tan sols dues superfícies; per aquest tipus d'objectes, la integral es pot prendre per tota la superfície sencera ( A {\displaystyle A} ) agafant el valor absolut de l'integrand (de tal manera que el "dalt" i el "baix" de l'objecte no es cancel·lin, tal com requeriria el teorema de divergència aplicat sobre el camp vectorial constant r ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } ) i dividint per dos:

A ′ = 1 2 ∬ A | d A ⋅ r ^ | {\displaystyle A'={\frac {1}{2}}\iint \limits _{A}|d\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {r}} |}

En dibuix tècnic

Les seccions subministren informació de tots els elements que apareixen ocults en la planta i alçats principals, i són de gran utilitat per les representacions gràfiques d'elements arquitectònics i d'enginyeria. Formen part, gairebé imprescindible, dels plànols de tot projecte tècnic.

Vegeu també


Viccionari